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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

par lesquelles on déterminera d’abord les quantités $r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\,\ldots \ ;$ et les quantités $r',p',p'',p''',\,\ldots ,q',q'',q''',\,\ldots$ demeureront encore indéterminées.

On fera ensuite les mêmes substitutions dans l’équation de la pression (14), et il est visible qu’elle se réduira à cette forme

${\begin{aligned}\alpha dx+\beta dy+\gamma dz&+z\left(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz\right)\\&+z^{2}\left(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz\right)+\ldots =d\mathrm {V} -d\Pi \ ;\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\alpha \ &={\frac {dp'\ }{dt}}+p'{\frac {dp'\ }{dx}}+q'{\frac {dp'}{dy}}\,+r'p'',\\\beta \ &={\frac {dq'\ }{dt}}+p'{\frac {dq'\ }{dx}}+q'{\frac {dq'}{dy}}\,+r'q'',\\\gamma \ &={\frac {dr'\ }{dt}}+p'{\frac {dr'\ }{dx}}+q'{\frac {dr'}{dy}}\,+r'r'',\\\alpha '&={\frac {dp''}{dt}}+p'{\frac {dp''}{dx}}+p''{\frac {dp'}{dx}}+q'{\frac {dp''}{dy}}+q''{\frac {dp'}{dy}}+2r'p'''+r''p'',\\\beta '&={\frac {dq''}{dt}}+p'{\frac {dq''}{dx}}+p''{\frac {dq'}{dy}}+q'{\frac {dq''}{dy}}\,+q''{\frac {dq'}{dy}}+2r'q'''+r''q'',\\\gamma '&={\frac {dr''}{dt}}+p'{\frac {dr''}{dx}}+p''{\frac {dr'}{dx}}+q'{\frac {dr''}{dy}}\,+q''{\frac {dr'}{dy}}+2r'r'''\,+r''r'',\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, pour que le premier membre de cette équation soit intégrable, il faudra que les quantités

$\alpha dx+\beta dy,\quad \gamma dz+z\left(\alpha 'dx+\beta 'dy\right),\quad \gamma 'zdz+z^{2}\left(\alpha ''dx+\beta ''dy\right),\,\ldots ,$

soient chacune intégrable en particulier.

Si donc on dénote par $\omega$ une fonction de $x,$ $y,$ $t$ sans $z,$ on aura ces conditions

$\alpha ={\frac {d\omega }{dx}},\ \ \beta ={\frac {d\omega }{dy}},\ \ \alpha '={\frac {d\gamma }{dx}},\ \ \beta '={\frac {d\gamma }{dy}},\ \ \alpha ''={\frac {1}{2}}{\frac {d\gamma '}{dx}},\ \ \beta ''={\frac {1}{2}}{\frac {d\gamma '}{dy}},\ldots .$