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DU MOUVEMENT DES FLUIDES
par lesquelles on déterminera d’abord les quantités
et les quantités
demeureront encore indéterminées.
On fera ensuite les mêmes substitutions dans l’équation de la pression (14), et il est visible qu’elle se réduira à cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha dx+\beta dy+\gamma dz&+z\left(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz\right)\\&+z^{2}\left(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz\right)+\ldots =d\mathrm {V} -d\Pi \ ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ddd9ad02d2f7c09678282caca3bef52e5ac0cd)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \ &={\frac {dp'\ }{dt}}+p'{\frac {dp'\ }{dx}}+q'{\frac {dp'}{dy}}\,+r'p'',\\\beta \ &={\frac {dq'\ }{dt}}+p'{\frac {dq'\ }{dx}}+q'{\frac {dq'}{dy}}\,+r'q'',\\\gamma \ &={\frac {dr'\ }{dt}}+p'{\frac {dr'\ }{dx}}+q'{\frac {dr'}{dy}}\,+r'r'',\\\alpha '&={\frac {dp''}{dt}}+p'{\frac {dp''}{dx}}+p''{\frac {dp'}{dx}}+q'{\frac {dp''}{dy}}+q''{\frac {dp'}{dy}}+2r'p'''+r''p'',\\\beta '&={\frac {dq''}{dt}}+p'{\frac {dq''}{dx}}+p''{\frac {dq'}{dy}}+q'{\frac {dq''}{dy}}\,+q''{\frac {dq'}{dy}}+2r'q'''+r''q'',\\\gamma '&={\frac {dr''}{dt}}+p'{\frac {dr''}{dx}}+p''{\frac {dr'}{dx}}+q'{\frac {dr''}{dy}}\,+q''{\frac {dr'}{dy}}+2r'r'''\,+r''r'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3139d1310a0d4da3cd3c12998a3d041be14086)
et ainsi de suite.
Donc, pour que le premier membre de cette équation soit intégrable, il faudra que les quantités
![{\displaystyle \alpha dx+\beta dy,\quad \gamma dz+z\left(\alpha 'dx+\beta 'dy\right),\quad \gamma 'zdz+z^{2}\left(\alpha ''dx+\beta ''dy\right),\,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c5b6323c22eb89cf784511c818d2ec93e9d97c)
soient chacune intégrable en particulier.
Si donc on dénote par
une fonction de
sans
on aura ces conditions
![{\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dx}},\ \ \beta ={\frac {d\omega }{dy}},\ \ \alpha '={\frac {d\gamma }{dx}},\ \ \beta '={\frac {d\gamma }{dy}},\ \ \alpha ''={\frac {1}{2}}{\frac {d\gamma '}{dx}},\ \ \beta ''={\frac {1}{2}}{\frac {d\gamma '}{dy}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e75c0df1e8fb51f16bf5da0b62499cfe17c1de7)