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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

sorte que les coordonnées $z,$ par exemple, fussent très-petites vis-à-vis de $x$ et $y,$ cette circonstance pourrait servir aussi à faciliter et simplifier l’intégration des équations principales.

Car il est clair qu’on pourrait alors donner aux inconnues $p,$ $q,$ $r,$ $\Delta$ la forme suivante

${\begin{aligned}p&=p'\ +p''z\ \,+p'''z^{2}\ +\ldots ,\\q&=q'\ +q''z\ \ +q'''z^{2}\,\ +\ldots ,\\r&=r'\ +r''z\ \ +r'''z^{2}\,\ +\ldots ,\\\Delta &=\Delta '+\Delta ''z+\Delta '''z^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle

$p,\,p'',\,\ldots ,\,q',\,q'',\,\ldots ,\,r',\,r'',\,\ldots ,\,\Delta ',\,\Delta '',\,\ldots$

seraient des fonctions de $x,$ $y,$ $t$ sans $z.$ De sorte qu’en faisant ces substitutions on aurait des équations en séries, lesquelles ne contiendraient que des différences partielles relatives à $x,$ $y,$ $t.$

Pour donner là-dessus un essai de calcul, nous supposerons, pour plus de simplicité, qu’il ne s’agisse que d’un fluide incompressible et homogène dont la densité $\Delta$ soit égale à 1.

Substituant premièrement les valeurs précédentes dans l’équation de l’incompressibilité

${\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0,$

et ordonnant les termes par rapport à $z,$ on aura

${\frac {dp'}{dx}}+{\frac {dq'}{dy}}+r''+z\left({\frac {dp''}{dx}}+{\frac {dq''}{dy}}+2r'''\right)$

$+z^{2}\left({\frac {dp'''}{dx}}+{\frac {dq'''}{dy}}+3r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+\ldots =0.$

De sorte que, comme $p',$ $p'',\,\ldots ,$ $q',$ $q'',\,\ldots$ ne doivent point contenir $z,$ on aura ces équations particulières

${\begin{aligned}&{\frac {dp'\ \ }{dx}}+{\frac {dq'\ \ }{dy}}+r''\ =0,\\&{\frac {dp''\ }{dx}}+{\frac {dq''\ }{dy}}+2r'''=0,\\&{\frac {dp'''}{dx}}+{\frac {dq'''}{dy}}+3r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$