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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
dans lesquelles, à cause que
sont supposées très-petites et que par conséquent
sont très-petites vis-à-vis de
on pourra regarder
comme constantes vis-à-vis de
De sorte qu’en traitant
seule comme variable dans
et ajoutant les constantes arbitraires
on aura sur-le-champ
![{\displaystyle x=a+\int pdt,\quad y=b+\int qdt,\quad z=c+\int rdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75ecbd510048a2cecd1ad16f6e1e9743fa5e16e)
Donc si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \Phi =\int \varphi dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0c73b0119c496a65e4d839ff4d60a68a2dd55e)
et qu’on y change
en
on aura
![{\displaystyle x=a+{\frac {d\Phi }{da}},\quad y=b+{\frac {d\Phi }{db}},\quad z=c+{\frac {d\Phi }{dc}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93cfe7b35ef02a4c1ea31207ee0f6832dd168e0)
et les quantités
seront les valeurs initiales de
pour chaque particule du fluide, si l’on prend la fonction
de manière qu’elle soit nulle lorsque ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
23. Le cas dont nous venons de traiter a lieu surtout dans la Théorie de la propagation du son. En supposant, comme dans le no 16,
et ne conservant que les premières dimensions de la quantité
supposée très-petite, on aura
![{\displaystyle k\log \Delta =\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1768be58d9a53f3038412653c37f5108ae5c1455)
et l’équation en
sera
![{\displaystyle k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right)-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {\mathrm {V} }{dz}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda9f5919b9fbb59681419e76af512a6240a3b0b)
Or dans l’état de repos ou d’équilibre on a
donc
![{\displaystyle k\log \Delta =\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64aa5a5f2666b77be9e0d2663fc527be6dcdbe3c)
et par conséquent
![{\displaystyle \Delta =e^{\tfrac {\mathrm {V} }{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4278ccc6e2ed83844ed10ad3577c59c2ac75a61)
Supposons donc que la densité naturelle de l’air soit augmentée, lors-