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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

fasse à cette équation, on aura un mouvement possible dans le fluide en prenant

$p={\frac {d\omega }{dy}},\quad q=-{\frac {d\omega }{dx}},\quad r={\text{const.}},$

sans qu’il soit nécessaire que $pdx+qdy$ soit intégrable.

Si l’on fait

$\omega ={\frac {g\left(x^{2}+x^{2}\right)}{2}},$

on aura

${\text{fonct.}}=g,\quad$ et $\quad p=gy,\quad q=-gx$

comme dans l’Exemple précédent.

22. Il y a encore un cas très-étendu dans lequel la quantité

$pdx+qdy+rdz$

doit être une différentielle exacte. C’est celui où l’on suppose que les vitesses $p,$ $q,$ $r$ soient très-petites et qu’on néglige les quantités très-petites du second ordre et des ordres suivants. Car alors l’équation du n^o  14 se réduit à celle-ci

${\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}\ ;$

de sorte que

${\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz$

doit être intégrable par rapport à $x,$ $y,$ $z,$ et par conséquent aussi la quantité

$pdx+qdy+rdz,$

laquelle étant représentée par $d\varphi ,$ en supposant une fonction très-petite de $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ on aura les mêmes formules que dans les n^os 15 et 16, en y négligeant seulement les secondes et les ultérieures dimensions de $\varphi .$

On pourra de plus dans ce cas déterminer les valeurs mêmes des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ pour un temps quelconque. Car il n’y aura pour cela qu’à intégrer les équations (1)

$dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt$