721
DU MOUVEMENT DES FLUIDES
fasse à cette équation, on aura un mouvement possible dans le fluide en prenant
![{\displaystyle p={\frac {d\omega }{dy}},\quad q=-{\frac {d\omega }{dx}},\quad r={\text{const.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c712498e69583150e22e94cd400af8b160542d)
sans qu’il soit nécessaire que
soit intégrable.
Si l’on fait
![{\displaystyle \omega ={\frac {g\left(x^{2}+x^{2}\right)}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8fdae472a863fc1fc73654f7e2233e986bfe449)
on aura
![{\displaystyle {\text{fonct.}}=g,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9e886bcac2e29de255c9ff321fe7496988c1e0)
et
![{\displaystyle \quad p=gy,\quad q=-gx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfd725dc5cae499d71862c078b1a56a01d1ce12)
comme dans l’Exemple précédent.
22. Il y a encore un cas très-étendu dans lequel la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
doit être une différentielle exacte. C’est celui où l’on suppose que les vitesses
soient très-petites et qu’on néglige les quantités très-petites du second ordre et des ordres suivants. Car alors l’équation du no 14 se réduit à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e289f3bcbdd819f19f2193faa7bdb88500c11812)
de sorte que
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd3c5de350928cfb2444afa822d94e9f7c792df)
doit être intégrable par rapport à
et par conséquent aussi la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86a5454156a0dac604001a75ea08f4d4e5c9eb5)
laquelle étant représentée par
en supposant une fonction très-petite de
on aura les mêmes formules que dans les nos 15 et 16, en y négligeant seulement les secondes et les ultérieures dimensions de ![{\displaystyle \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b6c90c1e9984232aed2d530ac2fb2660ea000a)
On pourra de plus dans ce cas déterminer les valeurs mêmes des coordonnées
pour un temps quelconque. Car il n’y aura pour cela qu’à intégrer les équations (1)
![{\displaystyle dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1d6a64273e841cc628b9a65b7dff523c94e8b6)