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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

qui donnera les conditions

$\alpha ''=0,\quad \beta ''=0,\quad \gamma ''=0\ ;$

et alors la seconde quantité qui doit être une différentielle exacte se réduira à

$2\left(p'''dx+q'''dy+r'''dz\right).$

Ainsi il faudra que l’on ait aussi

$\alpha '''=0,\quad \beta '''=0,\quad \gamma '''=0\ ;$

de sorte que la troisième quantité qui doit être une diflérentielle exacte sera

$3\left(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz\right).$

On aura donc de même

$\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\quad \beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\quad \gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0\ ;$

et ainsi de suite.

Donc, si

$p'dx+q'dy+r'dz$

est une différentielle exacte, il faudra que

${\begin{aligned}{}&p''\ dx+q''\,dy+r''\ dz,\\&p'''dx+q'''dy+r'''dz,\\&p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

soient aussi chacune en particulier des différentielles complètes. Par conséquent la quantité

$pdx+qdy+rdz$

sera elle-même une différentielle complète, le temps $t$ étant supposé fort petit.

19. Il s’ensuit de là que, si la quantité

$pdx+qdy+rdz$