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DU MOUVEMENT DES FLUIDES
Ainsi la quantité
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5949a5b49a9756d6363acefd841a29503c1ef8b3)
deviendra après ces différentes substitutions, et en ordonnant les termes par rapport aux puissances de ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p''&dx+q''dy+r''dz+\alpha '\left(q'dx-p'dy\right)+\beta '\left(r'dx-p'dz\right)+\gamma '\left(r'dy-q'dz\right)\\+&t\ \ \left[2\left(p'''dx+q'''dy+r'''dz\right)\right.\\&\qquad +\alpha '\ \left(q''dx-p''dy\right)+\beta '\ \left(r''dx-p''dz\right)+\gamma '\ \left(r''dy-q''dz\right)\\&\qquad +\left.\alpha ''\left(q'\ dx-p'\ dy\right)+\beta ''\left(r'\ dx-p'\ dz\right)+\gamma ''\left(r'\ dy-q'\ dz\right)\right]\\+&t^{2}\left[3\left(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz\right)\right.\\&\qquad +\alpha '\ \ \left(q'''dx-p'''dy\right)+\beta '\ \ \left(r'''dx-p'''dz\right)+\gamma '\ \ \left(r'''dy-q'''dz\right)\\&\qquad +\alpha ''\ \left(q''\ dx-p''\ dy\right)+\beta ''\ \left(r''\ dx-p''\ dz\right)+\gamma ''\ \left(r''\ dy-q''\ dz\right)\\&\qquad +\left.\alpha '''\left(q'\ \ dx-p'\ \ dy\right)+\beta '''\left(r'\ \ dx-p'\ \ dz\right)+\gamma '''\left(r'\ \ dy-q'\ \ dz\right)\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3af0c0b32fed599a1bd8d4bd194816752b3e66)
et, comme cette quantité doit être une différentielle exacte indépendamment de la valeur de
il faudra que les quantités qui multiplient chaque puissance de
soient chacune en particulier une différentielle exacte.
18. Cela posé, supposons que
![{\displaystyle p'dx+q'dy+r'dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0320285bbec03d9feff15b7978866b9e4b214ef1)
soit une différentielle exacte, on aura par les Théorèmes connus
![{\displaystyle {\frac {dp'}{dy}}={\frac {dq'}{dx}},\quad {\frac {dp'}{dz}}={\frac {dr'}{dx}},\quad {\frac {dq'}{dz}}={\frac {dr'}{dy}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79d93618ec06a979b05f0eba6578197d7f7d9c7)
donc
![{\displaystyle \alpha '=0,\quad \beta '=0,\quad \gamma '=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5546af23762d952a0603fa7d8dd39db08826d72a)
donc la première quantité qui doit être une différentielle exacte sera
![{\displaystyle p''dx+q''dy+r''dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20d4d2ddbc5fb59a0fce74afcf24621c8ea4818)
Il faudra donc que cette quantité soit aussi une différentielle exacte, ce