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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Ainsi la quantité

${\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)$

deviendra après ces différentes substitutions, et en ordonnant les termes par rapport aux puissances de $t,$

${\begin{aligned}p''&dx+q''dy+r''dz+\alpha '\left(q'dx-p'dy\right)+\beta '\left(r'dx-p'dz\right)+\gamma '\left(r'dy-q'dz\right)\\+&t\ \ \left[2\left(p'''dx+q'''dy+r'''dz\right)\right.\\&\qquad +\alpha '\ \left(q''dx-p''dy\right)+\beta '\ \left(r''dx-p''dz\right)+\gamma '\ \left(r''dy-q''dz\right)\\&\qquad +\left.\alpha ''\left(q'\ dx-p'\ dy\right)+\beta ''\left(r'\ dx-p'\ dz\right)+\gamma ''\left(r'\ dy-q'\ dz\right)\right]\\+&t^{2}\left[3\left(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz\right)\right.\\&\qquad +\alpha '\ \ \left(q'''dx-p'''dy\right)+\beta '\ \ \left(r'''dx-p'''dz\right)+\gamma '\ \ \left(r'''dy-q'''dz\right)\\&\qquad +\alpha ''\ \left(q''\ dx-p''\ dy\right)+\beta ''\ \left(r''\ dx-p''\ dz\right)+\gamma ''\ \left(r''\ dy-q''\ dz\right)\\&\qquad +\left.\alpha '''\left(q'\ \ dx-p'\ \ dy\right)+\beta '''\left(r'\ \ dx-p'\ \ dz\right)+\gamma '''\left(r'\ \ dy-q'\ \ dz\right)\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

et, comme cette quantité doit être une différentielle exacte indépendamment de la valeur de $t,$ il faudra que les quantités qui multiplient chaque puissance de $t$ soient chacune en particulier une différentielle exacte.

18. Cela posé, supposons que

$p'dx+q'dy+r'dz$

soit une différentielle exacte, on aura par les Théorèmes connus

${\frac {dp'}{dy}}={\frac {dq'}{dx}},\quad {\frac {dp'}{dz}}={\frac {dr'}{dx}},\quad {\frac {dq'}{dz}}={\frac {dr'}{dy}}\ ;$

donc

$\alpha '=0,\quad \beta '=0,\quad \gamma '=0\ ;$

donc la première quantité qui doit être une différentielle exacte sera

$p''dx+q''dy+r''dz.$

Il faudra donc que cette quantité soit aussi une différentielle exacte, ce