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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

${\frac {d\varphi }{dy}},$ ${\frac {d\varphi }{dz}},$ deviendra

${\frac {d\left(\Delta {\dfrac {d\varphi }{dx}}\right)}{dx}}+{\frac {d\left(\Delta {\dfrac {d\varphi }{dy}}\right)}{dy}}+{\frac {d\left(\Delta {\dfrac {d\varphi }{dz}}\right)}{dz}}+{\frac {d\Delta }{dt}}=0.$

Ainsi, en substituant à $\Delta$ sa valeur donnée par l’équation précédente, on aura une seule équation finale en $\varphi ,$ de l’intégration de laquelle dépendra la détermination du mouvement du fluide.

16. Dans les fluides élastiques connus la densité est toujours proportionnelle à la pression ; de sorte qu’on a pour ces fluides $\Pi =k\Delta ,$ $k$ étant un coefficient constant qu’on déterminera en connaissant la valeur de la pression pour une densité donnée.

Ainsi pour l’air, la pression étant déterminée par la pesanteur de la colonne de mercure dans le baromètre, il est clair que, si l’on nomme $g$ la force accélératrice de la gravité (force qui doit être exprimée, comme on sait, par le double de l’espace qu’un corps grave abandonné à lui-même parcourt dans le vide pendant le temps qu’on prend pour l’unité des temps), $h$ la hauteur du baromètre pour une certaine densité de l’air qu’on prendra pour l’unité des densités, $\rho$ le rapport numérique de la densité du mercure à celle de l’air, rapport qui est le même que celui des gravités spécifiques de ces deux fluides, il est clair, dis-je, qu’on aura pour cet état de l’air

$\Pi =\rho gh,\quad \Delta =1\ ;$

donc

$k=\rho gh.$

Faisant donc

$\Pi =k\Delta ,$

on aura

$\int {\frac {d\Pi }{\Delta }}=k\log \Delta \ ;$

par conséquent la première équation du numéro précédent sera

$k\log \Delta =\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}.$