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DU MOUVEMENT DES FLUIDES
Donc
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\frac {dp}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dx}},\quad &&{\frac {dq}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dy}},\quad {\frac {dr}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dz}},\\&{\frac {dp}{dy}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}},\quad &&{\frac {dq}{dx}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}},\ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de639c942c3d440af44accb6c8508598c23b2f9e)
Ainsi l’équation précédente deviendra par ces substitutions
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dx}}dx+{\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dy}}dy+{\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dz}}dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b24e3753671b7cc99fb9d69cb778418b0def07)
laquelle est évidemment intégrable par rapport à
de sorte qu’en intégrant, on aura
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=\mathrm {V} -\int {\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4157eaf818080263885bce86889b5173cf56ec99)
On pourrait ajouter à l’un des membres de cette équation intégrale une fonction arbitraire de
puisque la variable
a été regardée dans l’intégration comme constante. Mais j’observe que cette fonction arbitraire peut être censée renfermée dans la valeur de
en effet, si l’on augmente d’une fonction quelconque
de
le premier membre de l’équation précédente se trouvera augmenté de la fonction arbitraire
et les valeurs des quantités
demeureront les mêmes qu’auparavant. Ainsi on peut sans déroger à la généralité de l’équation se dispenser d’y ajouter aucune fonction arbitraire de
On aura donc, dans la supposition dont il s’agit, l’équation
![{\displaystyle \int {\frac {d\Pi }{\Delta }}=\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea26fd37efe4c223469a05e8bfa283dcc140159)
par laquelle on connaîtra la pression
étant supposée une fonction donnée de ![{\displaystyle \Pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258cc515d57db2d995c29082014a55edfe602396)
Et il ne restera plus qu’à satisfaire à la première équation fondamentale du no 4, laquelle, en y mettant aussi pour
leurs valeurs