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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

l’équation proposée étant divisée par $\Delta$ se réduira à cette forme

${\begin{aligned}&\left({\frac {dp}{dt}}+p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dp}{dy}}+r{\frac {dp}{dz}}\right)dx+\left({\frac {dq}{dt}}+p{\frac {dq}{dx}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dq}{dz}}\right)dy\\+&\left({\frac {dr}{dt}}+p{\frac {dr}{dx}}+q{\frac {dr}{dy}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}\end{aligned}}$

Ainsi le premier membre de cette équation devra être en particulier une différentielle complète relativement à $x,$ $y,$ $z,$ puisque le second en est une.

Qu’on retranche de part et d’autre la différentielle de

${\frac {p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}}$

prise relativement à $x,$ $y,$ $z,$ laquelle est

${\begin{aligned}\left(p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dq}{dx}}+r{\frac {dr}{dx}}\right)dx&+\left(p{\frac {dp}{dy}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dr}{dy}}\right)dy\\&+\left(p{\frac {dp}{dz}}+q{\frac {dq}{dz}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dz\ ;\end{aligned}}$

on aura, en ordonnant les termes, cette transformée

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dt}}&dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz\\&+\left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)\left(qdx-pdy\right)+\left({\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}}\right)\left(rdx-pdz\right)\\&+\left({\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}\right)\left(rdy-qdz\right)\\&=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}}.\end{aligned}}$

Donc le premier membre de cette équation devra être pareillement une différentielle exacte.

15. Il est visible que, si l’on suppose que la quantité

$pdx+qdy+rdz$

soit elle-même la différentielle exacte d’une fonction quelconque $\varphi$ composée de $x,$ $y,$ $z$ et $t,$ on aura

$p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}},\quad r={\frac {d\varphi }{dz}}.$