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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

laquelle est intégrable relativement à $z$ et donne

$r=-{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\beta }{dy}}\ ;$

n’étant point nécessaire d’ajouter ici aucune fonction arbitraire, à cause des valeurs indéterminées de $\alpha$ et $\beta .$ Ainsi l’équation dont il s’agit sera satisfaite par ces valeurs

$p={\frac {d\alpha }{dz}},\quad q={\frac {d\beta }{dz}},\quad r=-{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\beta }{dy}},$

lesquelles étant ensuite substituées dans l’équation de la densité du même n^o 5, ainsi que dans les deux équations du n^o 9, on aura de nouveau trois équations entre les inconnues $\alpha ,$$\beta ,$ $\Delta$ et les variables $x,$ $y,$ $z,$ $t\ ;$ et la Théorie du mouvement des fluides incompressibles sera réduite à l’intégration de ces équations ; mais cette intégration surpasse aussi les forces de l’analyse.

14. Considérons présentement l’équation générale de la pression trouvée dans le n^o 7, et voyons si cette équation n’est pas susceptible en elle-même de quelque simplification.

Nous supposerons ici que la densité $\Delta$ soit ou constante, ou simplement proportionnelle à une fonction, quelconque de la pression $\Pi \ ;$ ce qui est le cas de tous les fluides connus, tant qu’on y fait abstraction de la chaleur.

Nous supposerons de plus que les forces accélératrices $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ du fluide soient telles, que

$\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz$

soit une différentielle complète ; ce qui a lieu, en général, lorsque ces forces viennent d’une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances.

De cette manière, si l’on fait

$d\mathrm {V} =\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz,$