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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

13. Considérons d’abord l’équation de la densité trouvée dans le n^o 4 pour les fluides compressibles, et supposons

$\Delta p={\frac {d\alpha }{dt}},\quad \Delta q={\frac {d\beta }{dt}},\quad \Delta r={\frac {d\gamma }{dt}},$

en regardant les quantités $\alpha ,$$\beta ,$$\gamma$ comme des fonctions inconnues de $x,$ $y,$ $z,$ $t.$ Cette équation deviendra par ces substitutions

${\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d^{2}\alpha }{dt\,dx}}+{\frac {d^{2}\beta }{dt\,dy}}+{\frac {d^{2}\gamma }{dt\,dz}}=0,$

laquelle est intégrable relativement à $t,$ et dont l’intégrale donnera

$\Delta =\mathrm {D} -{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\beta }{dy}}-{\frac {d\gamma }{dz}},$

$\mathrm {D}$ étant une fonction arbitraire de $x,$ $y,$ $z$ sans $t,$ dépendante de la densité initiale du fluide.

Ensuite on aura

$p={\frac {\dfrac {d\alpha }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}},\ q={\frac {\dfrac {d\beta }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}},\ r={\frac {\dfrac {d\gamma }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}}.$

Donc, faisant ces substitutions dans les trois équations du n^o 8, et mettant pour $\Pi$ sa valeur donnée en $\Delta ,$ $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ on n’aura plus à intégrer que trois équations entre les inconnues $\alpha ,$ $\beta ,$$\gamma$ et les variables $x,$ $y,$ $z,$ $t\ ;$ mais cette intégration surpassera les forces de l’analyse connue.

Si le fluide est incompressible, on considérera l’équation de l’incompressibilité (5)

${\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0,$

et l’on y fera

$p={\frac {d\alpha }{dz}},\quad q={\frac {d\beta }{dz}},$

ce qui la réduira à la forme

${\frac {d^{2}\alpha }{dx\,dz}}+{\frac {d^{2}\beta }{dy\,dz}}+{\frac {dr}{dz}}=0,$