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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
13. Considérons d’abord l’équation de la densité trouvée dans le no 4
pour les fluides compressibles, et supposons
![{\displaystyle \Delta p={\frac {d\alpha }{dt}},\quad \Delta q={\frac {d\beta }{dt}},\quad \Delta r={\frac {d\gamma }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ecbbad0e24ae1df4e602b4e50fc246f2042d41)
en regardant les quantités ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ab677d974cccb0132cac08bd67fc8ac765627e)
comme des fonctions inconnues de
Cette équation deviendra par ces substitutions
![{\displaystyle {\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d^{2}\alpha }{dt\,dx}}+{\frac {d^{2}\beta }{dt\,dy}}+{\frac {d^{2}\gamma }{dt\,dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18cab2285ba60975a2fe87d2c5d364157686852)
laquelle est intégrable relativement à
et dont l’intégrale donnera
![{\displaystyle \Delta =\mathrm {D} -{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\beta }{dy}}-{\frac {d\gamma }{dz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b7c87a877923c2f52aafcde0b9571e0e2aae59)
étant une fonction arbitraire de
sans
dépendante de la densité initiale du fluide.
Ensuite on aura
![{\displaystyle p={\frac {\dfrac {d\alpha }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}},\ q={\frac {\dfrac {d\beta }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}},\ r={\frac {\dfrac {d\gamma }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ca651f7b797df48da4d430bb921c090c0d2e6c)
Donc, faisant ces substitutions dans les trois équations du no 8, et mettant pour
sa valeur donnée en
on n’aura plus à intégrer que trois équations entre les inconnues
![{\displaystyle \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ab677d974cccb0132cac08bd67fc8ac765627e)
et les variables
mais cette intégration surpassera les forces de l’analyse connue.
Si le fluide est incompressible, on considérera l’équation de l’incompressibilité (5)
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09870524d8ce0e6af8fef4abc26a4750f5f25c7)
et l’on y fera
![{\displaystyle p={\frac {d\alpha }{dz}},\quad q={\frac {d\beta }{dz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c62d366bdfdda61e4f5567a03d22e8b1d2440a1)
ce qui la réduira à la forme
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dx\,dz}}+{\frac {d^{2}\beta }{dy\,dz}}+{\frac {dr}{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf9f6e223c86df484920799e175bc5db93947a4)