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donc

$m={\frac {dz}{dx}},\quad n={\frac {dz}{dy}},$

et par conséquent

$l=z-x{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation du plan touchant, elle deviendra

$u=s{\frac {dz}{dx}}+t{\frac {dz}{dy}}+z-x{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}}.$

Supposons, pour plus de simplicité, que le point donné soit l’origine des coordonnées, et cherchons l’expression générale de la perpendiculaire menée de ce point sur le plan dont l’équation est

$u=l+ms+nt\,;$

soit $\rho$ la valeur d’une ligne menée du point dont il s’agit à un point quelconque de ce plan, on aura, en général,

$\rho ^{2}=s^{2}+t^{2}+u^{2},$

et, dans le cas où cette ligne devient perpendiculaire, on aura $d\rho =0$ et par conséquent

$sds+tdt+udu=0\,;$

mais l’équation au plan donne

$du=mds+ndt,$

donc

$(s+mu)ds+(t+nu)dt=0,$

et par conséquent

$s+mu=0,\quad l+nu=0,$

d’où l’on tire

$s=-mu,\quad t=-nu\,;$

donc

$u=l-m^{2}u-n^{2}u\,;$