706
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
quations dans les Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin de 1779[1]. Suivant cette méthode il faut intégrer les quatre équations
![{\displaystyle dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt,\quad d\mathrm {A} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8cf57118032a43d9eebda5736e2d4295dd48d0)
et, nommant
les quatre constantes arbitraires, on aura
![{\displaystyle h=f(a,b,c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fa31be126296ad1bb88c593aa193273ec37c68)
pour l’intégrale de la proposée, dans laquelle il faudra mettre pour
leurs valeurs en
la caractéristique
dénotant une fonction quelconque de
L’équation
donne d’abord
ainsi l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} =f(a,b,c),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761c350953b57cad6f13eb6d392b68919628a51b)
les quantités
étant les trois constantes arbitraires qui entreront dans les intégrales des équations
![{\displaystyle dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cab78362245f8a719858fae81251c2bc6768bd2)
ou plutôt les valeurs de ces constantes en
déduites de ces intégrales. Or nous avons vu dans le no 1 que ces intégrales servent à déterminer les valeurs des coordonnées
de chaque particule pour un temps quelconque
et que les constantes arbitraires
dépendent du lieu initial de la particule. Ainsi 1"équation
![{\displaystyle \mathrm {A} =f(a,b,c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be1d347d778734cb63cde844c763a81cf85f75f)
indique que la quantité
regardée comme une fonction de
doit être telle, que si l’on y substitue pour
leurs valeurs en
et en
elle devienne une fonction de
sans
c’est-à-dire que
s’évanouisse. C’est aussi ce qu’on peut démontrer à priori par le raisonnement suivant.
Puisque
est l’équation de la surface du fluide,
étant une fonction des coordonnées
et du temps
qui est comme le paramètre variable de cette surface ; il s’ensuit que, si l’on y substitue pour
leurs valeurs en
et
et qu’on suppose pour plus de simplicité
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 624