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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

quations dans les Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin de 1779^[1]. Suivant cette méthode il faut intégrer les quatre équations

$dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt,\quad d\mathrm {A} =0,$

et, nommant $a,$ $b,$ $c,$ $h$ les quatre constantes arbitraires, on aura

$h=f(a,b,c)$

pour l’intégrale de la proposée, dans laquelle il faudra mettre pour $h,$ $a,$ $b,$ $c$ leurs valeurs en $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ $\mathrm {A} ,$ la caractéristique $f$ dénotant une fonction quelconque de $a,$ $b,$ $c.$ L’équation $d\mathrm {A} =0$ donne d’abord $\mathrm {A} =h\ ;$ ainsi l’on aura

$\mathrm {A} =f(a,b,c),$

les quantités $a,$ $b,$ $c$ étant les trois constantes arbitraires qui entreront dans les intégrales des équations

$dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt,$

ou plutôt les valeurs de ces constantes en $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ déduites de ces intégrales. Or nous avons vu dans le n^o  1 que ces intégrales servent à déterminer les valeurs des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ de chaque particule pour un temps quelconque $t,$ et que les constantes arbitraires $a,$ $b,$ $c$ dépendent du lieu initial de la particule. Ainsi 1"équation

$\mathrm {A} =f(a,b,c)$

indique que la quantité $\mathrm {A} ,$ regardée comme une fonction de $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ doit être telle, que si l’on y substitue pour $x,$ $y,$ $z$ leurs valeurs en $t$ et en $a,$ $b,$ $c,$ elle devienne une fonction de $a,$ $b,$ $c,$ sans $t,$ c’est-à-dire que $t$ s’évanouisse. C’est aussi ce qu’on peut démontrer à priori par le raisonnement suivant.

Puisque $\mathrm {A} =0$ est l’équation de la surface du fluide, $\mathrm {A}$ étant une fonction des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ et du temps $t$ qui est comme le paramètre variable de cette surface ; il s’ensuit que, si l’on y substitue pour $x,$ $y,$ $z$ leurs valeurs en $t$ et $a,$ $b,$ $c,$ et qu’on suppose pour plus de simplicité

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 624