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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

Or, éliminant la quantité $\Pi$ des trois équations du numéro précédent, on a ces deux-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\left[\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)\right]}{dy}}&={\frac {\Delta \left(\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}}\right)}{dx}},\\{\frac {d\left[\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)\right]}{dz}}&={\frac {\Delta \left(\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}}\right)}{dx}},\end{aligned}}$

lesquelles étant combinées avec les deux dont nous venons de parler, on aura de nouveau quatre équations aux différences partielles entre les inconnues $p,q,r,\Delta$ et les variables $x,y,z,t\ ;$ et ces équations contiendront toute la Théorie du mouvement des fluides incompressibles.

10. Les équations que nous venons de donner étant aux différences partielles, leurs intégrales renfermeront nécessairement des fonctions arbitraires des variables $x,$ $y,$ $z,$ $t\ ;$ et la détermination de ces fonctions dépendra de l’état initial du fluide, c’est-à-dire des valeurs de $p,$ $q,$ $r,$ lorsque $t=0,$ et des conditions particulières auxquelles la surface même du fluide devra être assujettie pendant le mouvement.

On suppose tacitement dans la Théorie du mouvement des fluides que les particules, qui sont une fois à la surface du fluide, y restent toujours pendant tout le mouvement. Cette condition paraît en effet nécessaire pour que le fluide ne se divise pas, mais forme toujours une masse continue ; cependant nous verrons qu’il y a des cas où elle ne doit pas avoir lieu.

Soit, en général,

$\mathrm {A} =0$

l’équation de la surface du fluide, $\mathrm {A}$ étant une fonction de $x,y,z,t.$ Puisque par le mouvement du fluide les coordonnées $x,y,z$ d’une particule quelconque deviennent $x+pdt,\ y+qdt,\ z+rdt,$ tandis que le temps $t$ devient $t+dt$ (1), pour que les mêmes particules se trouvent encore à la surface après l’instant $dt,$ il faudra que l’équation $\mathrm {A} =0$ ait lieu également en y mettant $x+pdt,$$y+qdt,\ z+rdt,\ t+dt$ à la place