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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
Or, éliminant la quantité
des trois équations du numéro précédent, on a ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\left[\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)\right]}{dy}}&={\frac {\Delta \left(\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}}\right)}{dx}},\\{\frac {d\left[\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)\right]}{dz}}&={\frac {\Delta \left(\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}}\right)}{dx}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104337be2451a5224ab0c7857836335e728d5092)
lesquelles étant combinées avec les deux dont nous venons de parler, on aura de nouveau quatre équations aux différences partielles entre les inconnues
et les variables
et ces équations contiendront toute la Théorie du mouvement des fluides incompressibles.
10. Les équations que nous venons de donner étant aux différences
partielles, leurs intégrales renfermeront nécessairement des fonctions
arbitraires des variables
et la détermination de ces fonctions dépendra de l’état initial du fluide, c’est-à-dire des valeurs de
lorsque
et des conditions particulières auxquelles la surface même du fluide devra être assujettie pendant le mouvement.
On suppose tacitement dans la Théorie du mouvement des fluides que les particules, qui sont une fois à la surface du fluide, y restent toujours pendant tout le mouvement. Cette condition paraît en effet nécessaire pour que le fluide ne se divise pas, mais forme toujours une masse continue ; cependant nous verrons qu’il y a des cas où elle ne doit pas avoir lieu.
Soit, en général,
![{\displaystyle \mathrm {A} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854c5ae9ae556fa9e11c6fa88196bcfae01008c7)
l’équation de la surface du fluide,
étant une fonction de
Puisque par le mouvement du fluide les coordonnées
d’une particule quelconque deviennent
tandis que le temps
devient
(1), pour que les mêmes particules se trouvent encore à la surface après l’instant
il faudra que l’équation
ait lieu également en y mettant ![{\displaystyle x+pdt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5e13f8d102504f4307cb6151e5c551973d24e7)
à la place