Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/703

701

DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Donc pour les fluides incompressibles l’équation de la densité se décompose en deux de cette forme

${\begin{aligned}&{\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r=0,\\&{\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0,\end{aligned}}$

dont la première sert à déterminer la densité en fonction de $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ et la seconde renferme la condition de l’incompressibilité du fluide, et peut être nommée en conséquence équation de l’incompressibilité.

6. Considérons présentement l’effet des forces accélératrices qui agissent sur le fluide.

Soient $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ les forces par lesquelles chaque point du fluide est sollicité parallèlement aux coordonnées $x,$ $y,$ $z,$ et dans le sens suivant lequel ces coordonnées augmentent. Si l’on suppose d’abord le fluide en repos et en équilibre en vertu de ces forces, il faudra, par les principes connus de l’équilibre des fluides, que la quantité

$\Delta \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right)$

soit une différentielle exacte par rapport à $x,$ $y,$ $z\ ;$ et son intégrale exprimera la pression du fluide sur le point qui répond aux coordonnées $x,$ $y,$ $z,$ pression qui sera ainsi représentée par une fonction finie de ces mêmes variables.

Si donc on nomme en général cette pression produite par les forces $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R} ,$ on aura, dans le cas où le fluide doit être en équilibre en vertu de ces forces,

$d\Pi =\Delta \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right),$

équation qui doit ètre intégrable d’elle-même, et dont les conditions de l’intégrahilité donneront celles auxquelles doivent être soumises les forces données pour l’existence de l’équilibre.

À la surface extérieure la pression $\Pi$ doit être nulle, lorsque le fluide