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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
Mais la densité
devient en même temps (en y faisant varier
de
)
![{\displaystyle \Delta +{\frac {d\Delta }{dt}}dt+{\frac {d\Delta }{dx}}pdt+{\frac {d\Delta }{dy}}qdt+{\frac {d\Delta }{dz}}rdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ccce27482a822a8e369ff95c61532ff2929736)
Par conséquent la quantité
![{\displaystyle \Delta \delta x\delta y\delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657f95651a1419ffa1969e9832be2932f8d7d465)
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &\delta x\delta y\delta z\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt\right)\\&+\delta x\delta y\delta z\left({\frac {d\Delta }{dt}}dt+{\frac {d\Delta }{dx}}pdt+{\frac {d\Delta }{dy}}qdt+{\frac {d\Delta }{dz}}rdt\right)\ ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1589a70b0b529c45bc2dbe9d4a656c048a8f55)
laquelle devant toujours être égale à
![{\displaystyle dm=\Delta \delta x\delta y\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1422055f8c8572754a53a26b075b295e942c0137)
on aura, en divisant par
l’équation
![{\displaystyle \Delta \left({\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}\right)+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r+{\frac {d\Delta }{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdff7842331535a3bf4041676ffb968b2f7ca86)
ou
![{\displaystyle {\frac {d(\Delta p)}{dx}}+{\frac {d(\Delta q)}{dy}}+{\frac {d(\Delta r)}{dz}}+{\frac {d\Delta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b764f1fe5a740c165cab1d6c8c7756a2c2825b)
C’est la première équation fondamentale de la Théorie du mouvement des fluides ; et comme elle est relative à la densité du fluide, elle peut être nommée en général l’équation de la densité.
5. Lorsque le fluide est incompressible, la densité de chaque particule
ne varie point d’un instant à l’autre ; ainsi il faudra que l’on ait dans ce cas
![{\displaystyle {\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd211a51cde8af008d12d8c2a3866f076e8d8f38)
et l’équation précédente se réduira alors à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dz}}+{\frac {dr}{dz}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c2d84ff9aca91de90a8bbed39d60dbc3b02dd2)