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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Mais, quelle que puisse être leur déviation, il est certain qu’elle ne peut être qu’infiniment petite ; en effet le côté $\delta x,$ en devenant

$\delta x{\sqrt {\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dq}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dz}}dt\right)^{2}}},$

fera avec la ligne des $x$ un angle dont la tangente sera égale à

$\delta x{\sqrt {\left({\frac {dq}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dx}}dt\right)^{2}}}\quad$ divisé par $\quad \delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)\ ;$

de sorte qu’en négligeant les infiniment petits du second ordre on aura

$dt{\sqrt {\left({\frac {dq}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dx}}\right)^{2}}}$

pour l’expression de cet angle ; et ainsi des autres angles de déviation. D’ailleurs, de ce que le parallélépipède rectangle est celui qui a la plus grande capacité parmi tous ceux qui ont les mêmes côtés, il s’ensuit qu’en faisant varier infiniment peu les angles d’un parallélépipède rectangle, sa capacité ne saurait varier que dans une proportion qui ne différera de l’unité que par des quantités infiniment petites du second ordre, celles du premier devant disparaître par la propriété du maximum. Donc la quantité

$1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt,$

que nous avons trouvée pour le rapport entre la capacité du nouveau parallélépipède et celle du parallélépipède primitif $\delta x\delta y\delta z,$ ne pourra varier, en conséquence de la déviation infiniment petite de ses côtés, que de quantités infiniment petites du second ordre, lesquelles devront par conséquent être négligées vis-à-vis des termes du premier ordre ${\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt.$

4. Ainsi la quantité $\delta x\delta y\delta z$ deviendra simplement dans l’instant suivant

$\delta x\delta y\delta z\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt\right).$