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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

que son volume soit par conséquent exprimé par $\delta x\delta y\delta z,$ en supposant que $\delta x,$ $\delta y,$ $\delta z$ soient les côtés du parallélépipède et représentent les variations des coordonnées $x,\,y,\,z,$ pour les particules adjacentes, dans la direction de ces coordonnées.

Si donc on nomme $\Delta$ la densité de chaque particule $dm,$ on aura

$dm=\Delta \delta x\delta y\delta z,$

et la quantité $\Delta$ devra être pareillement une fonction de $x,\,y,\,z,\,t.$

3. Dans l’instant suivant, le parallélépipède changera à la fois de place et de forme, mais la masse $dm$ demeurera la même. Pour voir ce que devient le volume, ou l’espace $\delta x\delta y\delta z,$ on remarquera que les coordonnées $x,\,y,\,z$ de la particule $dm$ deviennent, par le mouvement de cette particule, $x+pdt,$ $y+qdt,$ $z+rdt$ (1) ; donc, faisant varier successivement dans ces dernières expressions les variables $x,$ $y,$ $z$ de $\delta x,$ $\delta y,$ $\delta z,$ les coordonnées

$x+\delta x,\ y,\ z$

de la particule adjacente dans la direction de la ligne $x$ deviendront

$x+pdt+\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)\delta x,\quad y+qdt+{\frac {dq}{dx}}dt\delta x,\quad z+rdt+{\frac {dr}{dx}}dt\delta x\ ;$

ainsi le côté $\delta x,$ lequel joint les angles du parallélépipède relatifs aux coordonnées $x,$ $y,$ $z$ et $x+\delta x,$ $y,$ $z,$ deviendra évidemment

$\delta x{\sqrt {\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dq}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dx}}dt\right)^{2}}}=\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right),$

en négligeant les quantités infiniment petites du troisième ordre. À l’égard des deux autres côtés égaux et parallèles à $\delta x,$ dont l’un joint les angles relatifs aux coordonnées

$x,\ y+\delta y,\ z,\quad$ et $\quad x+\delta x,\ y+\delta y,\ z,$

et l’autre joint les angles relatifs aux coordonnées

$x,\ y,\ z+\delta z,\quad$ et $\quad x+\delta x,\ y,\ z+\delta z,$