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DU MOUVEMENT DES FLUIDES
que son volume soit par conséquent exprimé par
en supposant que
soient les côtés du parallélépipède et représentent les variations des coordonnées
pour les particules adjacentes, dans la direction de ces coordonnées.
Si donc on nomme
la densité de chaque particule
on aura
![{\displaystyle dm=\Delta \delta x\delta y\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1422055f8c8572754a53a26b075b295e942c0137)
et la quantité
devra être pareillement une fonction de ![{\displaystyle x,\,y,\,z,\,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59c5dbaeea5aaf4a98453e8895c3b104c28b5a3)
3. Dans l’instant suivant, le parallélépipède changera à la fois de place et de forme, mais la masse
demeurera la même. Pour voir ce que devient le volume, ou l’espace
on remarquera que les coordonnées
de la particule
deviennent, par le mouvement de cette particule,
(1) ; donc, faisant varier successivement dans ces dernières expressions les variables
de
les coordonnées
![{\displaystyle x+\delta x,\ y,\ z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9a1375dedf70d85c353d29336f0f28a9d44794)
de la particule adjacente dans la direction de la ligne
deviendront
![{\displaystyle x+pdt+\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)\delta x,\quad y+qdt+{\frac {dq}{dx}}dt\delta x,\quad z+rdt+{\frac {dr}{dx}}dt\delta x\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd9aa3fd73854d0dad7d196884a7a08492afae0)
ainsi le côté
lequel joint les angles du parallélépipède relatifs aux coordonnées
et
deviendra évidemment
![{\displaystyle \delta x{\sqrt {\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dq}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dx}}dt\right)^{2}}}=\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5086434e3b0e9f1127136e0a98c50ec98863ce3a)
en négligeant les quantités infiniment petites du troisième ordre. À l’égard des deux autres côtés égaux et parallèles à
dont l’un joint les angles relatifs aux coordonnées
![{\displaystyle x,\ y+\delta y,\ z,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23aed606edadf93fa26870a80e1b41e509217cb2)
et
![{\displaystyle \quad x+\delta x,\ y+\delta y,\ z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e73139116acd887e68d589b7edef1fd7fa8500)
et l’autre joint les angles relatifs aux coordonnées
![{\displaystyle x,\ y,\ z+\delta z,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52172c2214adeb7cc66d351a328063b9e1c16540)
et
![{\displaystyle \quad x+\delta x,\ y,\ z+\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d2d450f3a154af4354044d467556b73d54cdd4)