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le point $\mathrm {B}$ sera le pôle boréal de la Carte et le point $\mathrm {A}$ en sera le pôle austral ; la distance $\mathrm {BA}$ sera l’axe même de la Carte, dont la longueur est arbitraire, et dépend de la grandeur ou de l’échelle qu’on veut donner à la Carte.

On cherchera de plus l’angle $h$ qui représente la distance au pôle, ou le complément de la latitude du lieu qui doit occuper le centre $\mathrm {C}$ de la Carte, par la formule

$\operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}=n^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}$

du n^o 39, dans laquelle $n=\mathrm {\frac {KB}{KA}} ,$ en sorte qu’on aura

$\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}=\left(\mathrm {\frac {KB}{KA}} \right)^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}\,;$

et l’on aura tous les éléments nécessaires pour la construction de la Carte proposée.

41. Lorsque l’exposant $c$ de la projection est donné, comme dans la projection stéréographique où $c=1$ (29), on ne peut faire disparaître dans l’expression de $m$ que les termes affectés de la première dimension de $\beta$, en prenant (39)

$n=\mathrm {\frac {KB}{KA}} ={\frac {c-\cos \varpi }{c+\cos \varpi }}\,;$

et il est visible que la variation de $m$ et par conséquent la difformité de la Carte sera toujours plus grande dans ce cas que dans le cas précédent, où l’on donne à $c$ une valeur convenable pour faire disparaître aussi les secondes dimensions de $\beta .$

En faisant $c=1$ pour la projection stéréographique, on a

$n={\frac {1-\cos \varpi }{1+\cos \varpi }}=\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\varpi }{2}}\,;$

mais on a, en général, lorsque $c=1,$

$\operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}=n^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}=n\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\,;$