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donc, substituant la valeur précédente, on aura

\sin z={\frac {1}{\mu ^{\frac {1}{c}}\lambda ^{-{\frac {1}{c}}}\cot {\cfrac {h}{2}}+\lambda ^{\frac {1}{c}}\mu ^{-{\frac {1}{c}}}\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}}},

et par conséquent

m={\frac {c}{2\delta }}\left(\lambda ^{1+{\frac {1}{c}}}\mu ^{1-{\frac {1}{c}}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}+\lambda ^{1-{\frac {1}{c}}}\mu ^{1+{\frac {1}{c}}}\cot {\frac {h}{2}}\right),

expression générale de la valeur de $m$ pour un point quelconque $\mathrm {R}$ de la Carte, laquelle ne dépend que des deux distances $\lambda =\mathrm {RB} ,\ \mu =\mathrm {RA}$ de ce point aux deux pôles.

37. Si l’on fait $c=1$ pour avoir le cas de la projection stéréographique (29), on aura

m={\frac {\lambda ^{2}\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}+\mu ^{2}\cot {\cfrac {h}{2}}}{2\delta }}={\frac {\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\left(\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)\cos h}{2\delta \sin h}}.

Or on a (fig. 1, page 672)

{\begin{aligned}\lambda ^{2}=&\mathrm {{\overline {RB}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {BS}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {CB-CS}}^{2}} ,\\\mu ^{2}=&\mathrm {{\overline {RA}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {SA}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {CA+CS}}^{2}} \,;\end{aligned}}

donc (à cause de $\mathrm {CA=CB}$ ) on aura

{\begin{aligned}\lambda ^{2}+\mu ^{2}=&\mathrm {2{\overline {RS}}^{2}+2{\overline {CA}}^{2}+2{\overline {CS}}^{2}} ,\\\lambda ^{2}-\mu ^{2}=&-4\mathrm {CA\times CS} \,;\end{aligned}}

de plus on a

\mathrm {CA} \cos h=\mathrm {CG} ,\quad \delta \sin h=\mathrm {CA} \sin h=\mathrm {GH} \,;

donc

m=\mathrm {\frac {{\overline {RS}}^{2}+{\overline {CA}}^{2}+{\overline {CS}}^{2}+2CS\times CG}{GH}} \,;

or

\mathrm {{\overline {CA}}^{2}={\overline {CG}}^{2}+{\overline {GH}}^{2}} \,;

et, joignant les points $\mathrm {G,R}$ par la droite $\mathrm {GR} ,$ on a aussi

\mathrm {{\overline {GR}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {SG}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {CS}}^{2}+2CS\times CG+{\overline {CG}}^{2}} \,;