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cette valeur étant substituée dans l’expression précédente de $\operatorname {tang} \mathrm {RBA} ,$ on aura

$\operatorname {tang} \mathrm {RBA} ={\frac {\mathrm {AQ} \sin \left[c(t-g)\right]}{\mathrm {BQ+AQ} \cos \left[c(t-g)\right]}}\,;$

ce qui fournit la construction suivante pour trouver l’angle $\mathrm {RBA} .$

Qu’on décrive du centre $\mathrm {Q}$ et du rayon $\mathrm {QA}$ un cercle, et qu’on divise la circonférence de ce cercle à commencer du pôle $\mathrm {A}$ en parties qui répondent aux angles $c(t-g)\,;$ qu’on mène ensuite de l’autre pôle $\mathrm {B}$ à chacune de ces divisions des lignes droites $\mathrm {BR}$ prolongées s’il est nécessaire ces lignes diviseront le parallèle $\mathrm {PRQ}$ en parties $\mathrm {QR}$ correspondantes à la différence de longitude $g-t$ entre les méridiens $\mathrm {BA}$ et $\mathrm {BRA} .$

Le cercle dont il s’agit s’appelle, à cause de cette propriété, un cercle diviseur ; et dans la projection stéréographique pour laquelle on a $c=1,$ les arcs de ce cercle exprimeront précisément les différences de longitude.

31. Qu’on mène aussi du pôle $\mathrm {A}$ au même point $\mathrm {R}$ la droite $\mathrm {AR} ,$ et qu’on nomme $\lambda ,$ la droite $\mathrm {BR} ,$ $\mu$ la droite $\mathrm {AR} ,$ il est visible qu’on aura

$\lambda ={\sqrt {(\delta +x)^{2}+y^{2}}},\quad \mu ={\sqrt {(\delta -x)^{2}+y^{2}}}\,;$

qu’on substitue pour $x$ et $y$ leurs valeurs (21) en se rappelant que $\delta ={\frac {1}{2abc}},$ il viendra

${\begin{aligned}\lambda ^{2}=&{\frac {a^{2}\theta ^{2c}+2ab\theta ^{c}\cos[c(t-g)]+b^{2}}{b^{2}c^{2}{\bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos[c(t-g)]+b^{2}\theta ^{-c}{\bigr ]}^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad ={\frac {\theta ^{c}}{b^{2}c^{2}{\bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos[c(t-g)]+b^{2}\theta ^{-c}{\bigr ]}}},\\\\\mu ^{2}=&{\frac {b^{2}\theta ^{-2c}+2ab\theta ^{-c}\cos[c(t-g)]+a^{2}}{a^{2}c^{2}{\bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos[c(t-g)]+b^{2}\theta ^{-c}{\bigr ]}^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad ={\frac {\theta ^{-c}}{a^{2}c^{2}{\bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos[c(t-g)]+b^{2}\theta ^{-c}{\bigr ]}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\lambda ^{2}}{\mu ^{2}}}={\frac {a^{2}\theta ^{2c}}{b^{2}}},\quad {\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {a\theta ^{c}}{b}},$

2^o$\qquad \qquad {\frac {1}{\lambda ^{2}\mu ^{2}}}=a^{2}b^{2}c^{4}{\bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}{\bigr ]}^{2}$