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En faisant varier successivement $a$ et $b,$ on aura

${\frac {dz}{da}}={\frac {df(a,b)}{da}}+x,\quad {\frac {dz}{db}}={\frac {df(a,b)}{db}}+y\,;$

ainsi on aura, pour la détermination de l’intégrale particulière, les deux équations

$x+{\frac {df(a,b)}{da}}=0,\quad y+{\frac {df(a,b)}{db}}=0,$

au moyen desquelles on éliminera $a$ et $b$ de l’équation

$z=f(a,b)+ax+by\,;$

et la résultante sera l’intégrale particulière qu’on cherche.

Supposons que l’équation proposée soit

$z=y+{\frac {dz}{dy}}+x+{\frac {dz}{dx}}+h{\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dy}}\right)^{2}}},$

on aura dans ce cas

$f\left({\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}\right)=h{\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dy}}\right)^{2}}}\,;$

donc

$f(a,b)=h{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}},$

${\frac {df(a,b)}{da}}={\frac {ha}{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}}},\quad {\frac {df(a,b)}{db}}={\frac {hb}{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}}}\,;$

ainsi on aura d’abord cette intégrale complète

$z=h{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}}+ax+by\,;$

ensuite, pour avoir l’intégrale particulière, il n’y aura qu’à éliminer dans cette équation les quantités $a$ et $b$ au moyen de ces deux-ci

$x+{\frac {ha}{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}}}=0,\quad y+{\frac {hb}{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}}}=0,$