Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/665

donc on aura, en ajoutant une constante arbitraire logsg k,

$u=\log \left[k\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\left({\frac {1+\varepsilon \cos z}{1-\varepsilon \cos z}}\right)^{\frac {3}{2}}\right].$

Et, si dans l’expression de $q$ on substitue aussi $1-\varepsilon ^{2}$ à la place de $\gamma ^{2},$ on aura

$q={\frac {\sin z}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}}.$

Dans le cas où la Terre est sphérique on a $\varepsilon =0\,;$ donc

$u=\log \left(k\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\right),$

ainsi qu’on l’a trouvé ci-dessus ; or on peut rendre les deux expressions de $u$ semblables en prenant un angle $\zeta$ tel que l’on ait

$\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}=\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\left({\frac {1+\varepsilon \cos z}{1-\varepsilon \cos z}}\right)^{\frac {3}{2}},$

car alors on aura pareillement

$u=\log \left(k\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}\right)\,;$

en sorte qu’on pourra regarder l’angle $\zeta$ comme la distance au pôle corrigée en vertu de l’aplatissement de la Terre ; et, comme l’excentricité $\varepsilon$ est fort petite, on pourra trouver la correction dont il s’agit, c’est-à-dire la différence de $\zeta$ et de $z,$ exprimée par une série fort convergente, au moyen des formules que j’ai données dans les Nouveaux Mémoires de l’Académie royale de Berlin de 1776^[1]. On aura donc par ces formules

$\zeta =z-2\theta \sin z+{\frac {2\theta ^{2}}{2}}\sin 2z-{\frac {2\theta ^{3}}{3}}\sin 3z+\ldots ,$

en supposant

$\theta ={\frac {(1-\varepsilon \cos z)^{\frac {\varepsilon }{2}}-(1+\varepsilon \cos z)^{\frac {\varepsilon }{2}}}{(1-\varepsilon \cos z)^{\frac {\varepsilon }{2}}+(1+\varepsilon \cos z)^{\frac {\varepsilon }{2}}}},$

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 275.