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c’est ce qui se vérifie en effet, comme on peut s’en assurer par la différentiation de la quantité $\Omega .$

18. C’est ici le lieu d’examiner les conditions nécessaires pour que la quantité m soit constante, ou au moins une fonction de $u$ sans $t.$ Nous avons déjà vu (8) que dans ce cas tous les méridiens de la Carte devraient être des lignes droites ; ainsi les formules trouvées plus haut, pour le cas où les méridiens seraient des cercles quelconques, auront aussi lieu dans le cas présent. Il ne s’agira donc que de voir si l’expression de $m$ du n^o 16 peut devenir une fonction de $u$ seul. Donc, comme $q$ peut être censé une fonction de $u,$ il faudra que le terme $2ab\cos(2ct+g-h),$ qui renferme $t,$ disparaisse de lui-même ; ce qui ne peut arriver que lorsque

$a=0\quad {\text{ou}}\quad b=0.$

Dans le premier cas on aura

$m={\frac {1}{qb^{2}e^{-2cu}}},$

et dans l’autre

$m={\frac {1}{qa^{2}e^{2cu}}}\,;$

donc on aura, en général,

$q={\frac {\mathrm {A} e^{\mathrm {B} u}}{m}},$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes quelconques ; équation qui servira à déterminer la figure du méridien, aussitôt que $m$ sera donné en $u.$ En diffërentiant logarithmiquement, on aura

${\frac {dq}{q}}=\mathrm {B} du-{\frac {dm}{m}}\,;$

mais $du={\frac {ds}{q}}\,;$ donc

$dq+q{\frac {dm}{m}}=\mathrm {B} ds\,;$

et de là, en multipliant par $m$ et intégrant,

$mq=\mathrm {B} \int mds+\mathrm {C} \,;$