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et $y,$ et que pour les parallèles il y faudra faire varier uniquement $t\,;$ mais on a en général (numéro cité)

$dx=\alpha du-\beta dt,\quad dy=\beta du+\alpha dt\,;$

donc pour les méridiens on aura

$dx=\alpha du,\quad dy=\beta du,\quad d^{2}x={\frac {d\alpha }{du}}du^{2},\quad d^{2}y={\frac {d\beta }{du}}du^{2}\,;$

par conséquent, si l’on nomme $r$ le rayon osculateur d’un méridien quelconque, on aura

${\frac {1}{r}}={\frac {\beta {\cfrac {d\alpha }{du}}-\alpha {\cfrac {d\beta }{du}}}{\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Pour les parallèles on aura

$dx=-\beta dt,\quad dy=\alpha dt,\quad d^{2}x=-{\frac {d\beta }{dt}}dt^{2},\quad d^{2}y={\frac {d\alpha }{dt}}dt^{2}\,;$

donc, nommant $\rho$ le rayon osculateur d’un parallèle quelconque, on aura

${\frac {1}{\rho }}={\frac {\beta {\cfrac {d\alpha }{dt}}-\alpha {\cfrac {d\beta }{dt}}}{\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Je remarque maintenant que, par la condition de l’intégrabilité des formules

$\alpha du-\beta dt,\quad \beta du+\alpha dt,$

on a

${\frac {d\alpha }{dt}}=-{\frac {d\beta }{du}},\quad {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {d\alpha }{du}}\,;$

donc les expressions précédentes de ${\frac {1}{r}}$ et de ${\frac {1}{\rho }}$ peuvent se changer en celles-ci

${\frac {1}{r}}={\frac {\beta {\cfrac {d\beta }{dt}}+\alpha {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad {\frac {1}{\rho }}=-{\frac {\beta {\cfrac {d\beta }{du}}+\alpha {\cfrac {d\alpha }{du}}}{\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$