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Soit par exemple l’équation finie

$z=a+bx+mby\,;$

on a par la différentiation

$dz=bdx+mbdy\,;$

donc

${\frac {dz}{dx}}=b,\quad {\frac {dz}{dy}}=mb,$

et éliminant $a$ et $b,$ on aura

$m{\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}},$

équation dont l’intégrale complète sera donc

$z=a+b(x+my),$

$a$ et $b$ étant arbitraires.

Soit l’équation

$z=a+bx+cy,$

dans laquelle $c$ soit une fonction quelconque de $a$ et $b,$ que nous désignerons par $f(a,b)\,;$ on aura par la différentiation

${\frac {dz}{dx}}=b,\quad {\frac {dz}{dy}}=c=f(a,b)\,;$

donc

$z=a+x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}},$

d’où

$a=z-{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}}\,;$

par conséquent l’équation différentielle sera

${\frac {dz}{dy}}=f\left(z-{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}},{\frac {dz}{dx}}\right),$