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Article V. — Des intégrales particulière des équations aux différences partielles, avec des remarques nouvelles sur la nature et sur l’intégration de ces sortes d’équations.

39. Soit

$\mathrm {V} =0$

une équation entre trois variables $x,y,z$ et deux constantes $a,b\,;$ je dis qu’on en peut déduire une équation à différences partielles du premier ordre dans laquelle les constantes $a$ et $b$ ne se trouvent plus. En effet, supposons qu’en faisant varier à la fois, $x,y$ et $z$ on ait

$dz=pdx+qdy,$

$p$ et $q$ étant des fonctions connues de $x,y,z,a$ et $b\,;$ donc en regardant $z$ comme une fonction de $x$ et $y,$ on aura, suivant la notation ordinaire des différences partielles,

${\frac {dz}{dx}}=p,\quad {\frac {dz}{dy}}=q\,;$

qu’on élimine les deux quantités $a$ et $b$ dans les trois équations

$V=0,\quad {\frac {dz}{dx}}-p=0,\quad {\frac {dz}{dy}}-q=0,$

et l’on aura pour résultante une équation entre $x,y,z$ et ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}},$ où les constantes $a$ et $b$ ne se trouveront plus, et que nous représenterons, en général, par

$\mathrm {Z} =0.$

On peut donc regarder l’équation finie $\mathrm {V} =0$ comme l’intégrale complète de l’équation aux différences partielles du premier ordre $\mathrm {Z} =0\,;$ et comme les deux constantes $a$ et $b$ demeurent arbitraires dans l’équation $\mathrm {V} =0,$ il s’ensuit que l’intégrale complète de toute équation aux différences partielles du premier ordre entre trois variables doit nécessairement renfermer deux constantes arbitraires.