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donner cette autre forme

${\frac {du}{dp}}+\mathrm {P} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Q} {\frac {du}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} ,$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ seront des fonctions données de $p,y,t,\ldots ,u.$

Or cette dernière équation est intégrable par la méthode précédente, et l’on peut en conséquence trouver la valeur de $u$ en fonction de $p,y,t,\ldots \,;$, d’où, en différentient par rapport à $p,$ on tirera aussi celle de ${\frac {du}{dp}}$ en $p,y,t,\ldots .$ On aura donc ainsi les valeurs de $z-px$ et de $x$ en $p,y,t,\ldots \,;$ d’où, éliminant $p,$ on aura une équation en $z,x,y,t,\ldots$ qui sera l’intégrale de l’équation proposée.

9. Soit

${\frac {dz}{dx}}=p,\quad {\frac {dz}{dy}}=q,\quad z-px-qy=u\,;$

on aura en différentiant

$du=-xdp-ydq+{\frac {dz}{dt}}+\ldots \,;$

donc, regardant $x,y,z$ et $u$ comme fonctions de $p,q,t,\ldots ,$ on aura

${\frac {du}{dp}}=-x,\quad {\frac {du}{dq}}=-y,\quad {\frac {du}{dt}}={\frac {dz}{dt}},\ldots .$

Donc, si l’on a une équation de la forme

$-x-\mathrm {P} y+\mathrm {Q} {\frac {dz}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} ,$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ soient des fonctions quelconques données de ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}},t\ldots ,z-x{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}},$ on pourra par les substitutions précédentes la changer en une équation de la forme suivant

${\frac {du}{dp}}+\mathrm {P} {\frac {du}{dq}}+\mathrm {Q} {\frac {du}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} ,$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,\ldots ,Z}$ seront des fonctions données de $p,q,t,\ldots ,u.$