donner cette autre forme
![{\displaystyle {\frac {du}{dp}}+\mathrm {P} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Q} {\frac {du}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eede47f80e5e9919bf5feca98a9b4c80e2d0b9cc)
dans laquelle
seront des fonctions données de ![{\displaystyle p,y,t,\ldots ,u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17af10c5eaa8607797674bf35172588bfa0afbcf)
Or cette dernière équation est intégrable par la méthode précédente, et l’on peut en conséquence trouver la valeur de
en fonction de
, d’où, en différentient par rapport à
on tirera aussi celle de
en
On aura donc ainsi les valeurs de
et de
en
d’où, éliminant
on aura une équation en
qui sera l’intégrale de l’équation proposée.
9. Soit
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=p,\quad {\frac {dz}{dy}}=q,\quad z-px-qy=u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f859433fe8b84f61aba0107ce110cac4e47ab9d)
on aura en différentiant
![{\displaystyle du=-xdp-ydq+{\frac {dz}{dt}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f61d9c0a79c447f9c581342e5f58eb6238f954)
donc, regardant
et
comme fonctions de
on aura
![{\displaystyle {\frac {du}{dp}}=-x,\quad {\frac {du}{dq}}=-y,\quad {\frac {du}{dt}}={\frac {dz}{dt}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328ed97a7041f10355db52c4e985e8b43cf1c6bc)
Donc, si l’on a une équation de la forme
![{\displaystyle -x-\mathrm {P} y+\mathrm {Q} {\frac {dz}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45189befecc4f25a629f3ef38b76064caf273d63)
dans laquelle
soient des fonctions quelconques données de
on pourra par les substitutions précédentes la changer en une équation de la forme suivant
![{\displaystyle {\frac {du}{dp}}+\mathrm {P} {\frac {du}{dq}}+\mathrm {Q} {\frac {du}{dt}}+\ldots =\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ff51c1f9662bf989c66f74cab975e5c889f62f)
dans laquelle
seront des fonctions données de ![{\displaystyle p,q,t,\ldots ,u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4852004a2cfd24636c397cb757a88a16432dfbdd)