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d’où

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=ax+b,\quad {\frac {dy}{dx}}={\frac {ax^{2}}{2}}+bx+c,\quad y={\frac {ax^{3}}{2.3}}+{\frac {bx^{2}}{2}}+cx+e\,;$

or comme l’équation $\mathrm {Z} ''=0$ n’est que du troisième ordre, son intégrale finie et complète ne peut renfermer que trois constantes arbitraires ; par conséquent, si l’on substitue dans cette équation les valeurs précédentes de $y,{\frac {dy}{dx}},$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},$ il arrivera nécessairement qu’on aura une équation entre les constantes $a,b,c,e$ sans $x$ ni $y,$ par laquelle il faudra déterminer une de ces constantes par les trois autres.

Supposons donc, en général, que l’on ait

$e=f(a,b,c),$

et si l’on fait pour plus de simplicité

${\frac {dy}{dx}}=p,\quad {\frac {dp}{dx}}=p',\quad {\frac {dp'}{dx}}=p'',$

on aura

$a=p'',\quad b=p'-xp'',\quad c=p-xp'+{\frac {x^{2}p''}{2}}\,;$

donc substituant ces valeurs dans l’équation

$y={\frac {ax^{3}}{2.3}}+{\frac {bx^{2}}{2}}+cx+e,$

on aura pour la forme générale des équations dont il s’agit

$y={\frac {x^{3}p''}{2.3}}-{\frac {x^{2}p'}{2}}+xp+f\left(p'',p'-xp'',p-xp'+{\frac {x^{2}p''}{2}}\right).$

L’intégrale finie et complète sera

$y={\frac {ax^{3}}{2.3}}+{\frac {bx^{2}}{2}}+cx+f(a,b,c)\,;$

et l’intégrale particulière se trouvera en éliminant $p''$ au moyen de l’équation

${\frac {x^{3}}{2.3}}+{\frac {df\left(p'',p'-xp'',p-xp'+{\frac {x^{2}p''}{2}}\right)}{dp''}}=0.$