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Article IV. — Sur les surfaces composées de lignes d’une nature donnée^[1].

1. Soit proposé de trouver l’équation des surfaces composées de lignes droites ; il n’y aura qu’à chercher cette des surfaces formées par l’intersection d’une infinité de plans dont la position varie suivant une loi quelconque.

Or l’équâtion généraled’un plan est

$z=ax+by+c,$

$a,b,c$ étant des constantes dépendantes de la position du plan. Qu’on suppose donc $b$ et $c$ des fonctions quelconques de $a$ et qu’on fasse ensuite varier $a$ seul dans cette équation, on aura

$x+y{\frac {db}{da}}+{\frac {dc}{da}}=0,$

et, éliminant $a$ au moyen de ces deux équations, la résultante sera l’équation cherchée.

2. Cette équation sera donc la même que nous avons trouvée dans le n^o 49 du Mémoire Sur les intégrales particulières des équations différentielles^[2], pour l’intégrale de l’équation aux différences partielles

$z=x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}}+f\left({\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}\right)\,;$

ainsi cette dernière équation appartiendra aussi aux surfaces dont il s’agit, en supposant que $f$ dénote une fonction quelconque. Or cette équation admet de plus une intégrale particulière qu’on peut trouver par la diffé-

1. Il n’est question, dans cet Article, que de la génération des surfaces par des lignes d’une nature donnée, assujetties à la condition d’être tangentes à une même courbe. C’est en se plaçant ainsi exclusivementau point de vue des surfaces enveloppes, que Lagrange regarde comme nécessaire, dans le n^o 3, la rencontre de deux génératrices infiniment voisines d’une surfaces réglée. $\qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)
2. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 75.