Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/620

avec ces trois

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,$

en éliminant par leur moyen les quatre quantités $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,;$ il restera une équation entre $p,q,r$ par laquelle on déterminera, par exemple, $r$ en $p$ et $q.$

Dans le second cas on combinera les trois équations

$\mathrm {T} =0,\quad d\mathrm {T} =0,\quad d^{2}\mathrm {T} =0,$

avec ces quatre-ci

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,\quad d^{3}\mathrm {V} =0,$

en éliminant les cinq quantités $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,;$ il viendra deux équations entre les quatre constantesarbitraires, par lesquelleson déterminera deux de ces constantes en fonction des deux autres ; et ainsi de suite.

De cette manière il restera toujours deux constantes arbitraires dans l’équation de la courbe touchante $\mathrm {V} =0,$ et, en donnant toutes les valeurs possibles à ces constantes, on aura toute la famille des courbes qui toucheront la courbe donnée par l’équation $\mathrm {T} =0.$

On traitera d’une manière analogue les cas où l’équation de la courbe touchée sera différentielle du second ordre ou des ordres suivants.

10. On peut par les mêmes principes résoudre cette question analytique : Trouver toutes les équations différentielles qui ont pour intégrale particulière une équation donnée. Il est visible en effet, par ce que nous avons démontré plus haut, que cette question revient à celle-ci : Trouver l’équation différentielles de toutes les courbes touchantes lorsque la courbe touchée est donnée.

Or nous avons donné la manière de trouver l’équation finie qui renferme toutes les courbes touchantes, à l’aide d’une ou de plusieurs constantes arbitraires ; il n’y aura donc autre chose à faire qu’a éliminer ces constantes au moyen de la différentiation, et l’équation différentielle qui en résultera satisfera à la question.