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stante arbitraire $a,$ on pourra déterminer l’intégrale particulière en éliminant $a$ au moyen des deux équations

$\mathrm {Z} '=0,\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}=0.$

Enfin on pourra aussi déterminer cette intégrale d’après la seule équation différentielle $\mathrm {Z} ''=0\,;$ pour cela il n’y aura qu’à chercher par la différentiation la valeur de ${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}$ et la supposer égale à ${\frac {0}{0}}\,;$ les deux équations qu’on aura de cette manière devront revenir à la même, après l’élimination de ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}$ faite par le moyen de la proposée $\mathrm {Z} ''=0,$ si celle-ci est susceptible d’une intégrale particulière, et alors l’équation résultante de l’élimination dont il s’agit sera l’intégrale particulière en question.

On pourra faire au reste sur les intégrales particulières des équations différentielles du troisième ordre des remarques analogues à celles qu’on a faites plus haut sur les intégrales particulières des équations du second ordre ; c’est sur quoi nous ne croyons pas qu’il soit nécessaire de nous étendre davantage.

38. Nous terminerons cet Article par faire remarquer qu’il y $a,$ dans chaque ordre, des équations différentielles qui ont des propriétés analogues à celles des équations des n^os 17 et 36.

Soit $\mathrm {Z} ''=0$ la forme générale de ces sortes d’équations pour le troisième ordre, on aura par la différentiation

$d\mathrm {Z} ''=\mathrm {A} ''d{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=0\,;$

d’où l’on tire ou $\mathrm {A} ''=0,$ ce qui donnera une intégrale particulière après l’élimination de la quantité ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},$ parce qu’alors ${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}={\frac {0}{0}}\,;$ ou bien $d{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=0,$ ce qui donnera l’intégrale complète

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=a,$