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Dans le premier cas on combinera les deux équations

$\mathrm {T} =0,\quad \mathrm {V} =0$

avec leurs différentielles

$d\mathrm {T} =0,\quad d\mathrm {V} =0,$

et chassant $x,y$ et ${\frac {dy}{dx}},$ il viendra une équation entre $p$ et $q,$ qui servira à déterminer l’une de ces constantes par l’autre.

Dans le second cas on combinera les mêmes équations

$\mathrm {T} =0,\quad \mathrm {V} =0$

avec leurs différentielles premières

$d\mathrm {T} =0,\quad d\mathrm {V} =0,$

et avec leurs différentielles secondes

$d^{2}\mathrm {T} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,$

en éliminant par leur moyen les quantités $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,;$ il en résultera deux équations entre les trois constantes $p,q,r,$ au moyen desquelles on déterminera deux de ces constantes par la troisième ; et ainsi de suite.

Il restera donc toujours une constante arbitraire dans l’équation $\mathrm {V} =0$ de la courbe touchante ; et, en donnant à cette constante arbitraire toutes les valeurs possibles, on aura la suite de toutes les courbes qui toucheront la courbe donnée dont l’équation est $\mathrm {T} =0.$

Supposons maintenant que l’équation $\mathrm {T} =0$ de la courbe touchée soit différentielle du premier ordre ; on ne pourra considérer alors que les contacts du second ordre et des ordres supérieurs. On prendra donc pour la courbe touchante une équation finie quelconque $\mathrm {V} =0,$ dans laquelle il y ait trois constantes indéterminées $p,q,r$ pour les contacts du second ordre, quatre constantes arbitraires pour les contacts du troisième ordre ; et ainsi de suite.

Dans le premier cas on combinera les deux équations

$\mathrm {T} =0,\quad d\mathrm {T} =0$