Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/606

qui n’exprime, comme on voit, qu’un cercle décrit du rayon régal à la distance du point décrivant au point d’attouchement des deux courbes. Cette solution satisfait, comme il est aisé de le voir, au Problème envisagé analytiquement, et, de ce qu’elle renferme une constante arbitraire, il s’ensuit qu’elle a toute l’étendue que demande l’équation différentielle trouvée plus haut ; mais il est visible en même temps qu’elle ne satisfait pas à la question envisagée mécaniquement et sous le point de vue où on l’a proposée.

Ce dernier objet se trouve rempli par l’autre équation, savoir

$x-p+(y-q)\varphi '(p)+rf'(p)=0,$

laquelle, en éliminant $p$ au moyen de l’équation finie

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$

${\bigl [}q$ et $r$ étant égaux à $\varphi (p)$ et $f(p){\bigr ]},$ donnera une équation finie en $x$ et $y$ dans laquelle il n’y aura aucune constante arbitraire, et qui sera la véritable équation de la roulette décrite par la révolution d’une courbe donnée sur une autre courbe donnée.

4. En combinant les deux équations

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},\quad -(x-p)dp-(y-q)dq=rdr,$

on en tire les valeurs de $x$ et $y,$ lesquelles, en mettant $ds^{2}$ à la place de sa valeur $dp^{2}+dq^{2},$ se trouveront exprimées ainsi

${\begin{aligned}x=&p-{\frac {rdrdp+rdq{\sqrt {ds^{2}-dr^{2}}}}{ds^{2}}},\\y=&q-{\frac {rdrdq-rdp{\sqrt {ds^{2}-dr^{2}}}}{ds^{2}}}.\end{aligned}}$

Pour faire usage de ces formules, il sera plus simple d’exprimer les coordonnées $p$ et $q$ de la courbe immobile, ainsi que le rayon $r$ de la courbe mobile, par l’arc $s$ qui est commun aux deux courbes. On trouvera