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alors la valeur de ${\frac {dy}{dx}}$ ou $z$ sera

${\frac {x-p}{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}}},$

comme dans le cas où $p,q,r$ sont constantes.

Faisant varier de nouveau $p,r$ dans cette expression de $z,$ et égalant à zéro la variation résultante de $z,$ on aura l’équation

${\frac {r^{2}dp+(x-p)rdr}{\left[r^{2}-(x-p)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}=0,$

et la valeur de ${\frac {dz}{dx}}$ sera

${\frac {r^{2}}{\left[r^{2}-(x-p)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},$

comme dans le cas de $p$ et $r$ constantes.

Qu’on substitue maintenant les valeurs précédentes de $y,z,{\frac {dz}{dx}}$ dans l’équation proposée ; il est d’abord visible que la partie

$x-{\frac {\left(1+z^{2}\right)zdx}{dz}},$

redeviendra égale à $p,$ comme on peut aussi s’en assurer par les substitutions quant à l’autre partie

$y+{\frac {\left(1+z^{2}\right)dx}{dz}},$

elle deviendra par les mêmes substitutions égale à $q$.

De sorte que l’on aura cette équation entre les seules varialbes $p$ et $q\,;$ savoir $q=\varphi (p),$ laquelle servira à déterminer $q$ en $p.$ Et il n’y aura plus qu’à déterminer $p$ et $r$ en $x,$ au moyen des deux équations

${\begin{aligned}&dq-{\frac {rdr+(x-p)dp}{\sqrt {r^{2}-(x-p)^{2}}}}=0,\\&rdp+(x-p)dr=0.\end{aligned}}$