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soit, en général, $c$ une fonction de $a$ et $b$ représentée par $f{a,b},$ et puisqu’on a

$a={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\quad b={\frac {dy}{dx}}-ax={\frac {dy}{dx}}-x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$

on aura

$c=f\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {dy}{dx}}-x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)\,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation

$y={\frac {ax^{2}}{2}}+bx+c,$

on aura celle-ci

$y=x{\frac {dy}{dx}}-{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {dy}{dx}}-x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right),$

ou bien, si Pon fait pour plus de simplicité ${\frac {dy}{dx}}=p,\ {\frac {dp}{dx}}=p',$

$y=px-{\frac {p'x^{2}}{2}}+f(p',p-xp')\,;$

toute équation donc qui sera réductible à cette forme aura, comme celle du n^o 17, la propriété de pouvoir être facilement intégrée au moyen d’une nouvelle différentiation, et son intégrale finie et complète sera

$y={\frac {ax^{2}}{2}}+bx+f(a,b),$

laquelle représente toujours une parabole.

De plus, l’équation précédente aura la propriété d’admettre toujours une intégrale particulière, qu’on trouvera en éliminant $p'$ au moyen de l’équation

$-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {df(p',p-p'x)}{dp'}}=0,$

et qui pourra représenter différentes courbes.

L’équation qui a servi d’exemple dans le n^o 30 est comprise sous la forme précédente.