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alors on aura cette équation entre $z$ et $x$

$dx={\frac {x-\mathrm {Z} }{\left(1+z^{2}\right)z}}dz,$

laquelle est intégrable par les méthodes connues ; pour l’intégrer il n’y a qu’à la multiplier par ${\frac {\sqrt {1+z^{2}}}{z}},$ et l’on aura cette intégrale

${\frac {x{\sqrt {1+z^{2}}}}{z}}=-\int {\frac {\mathrm {Z} dz}{z^{2}{\sqrt {1+z^{2}}}}}+\mathrm {const} .$

On aura ainsi $x$ en $z\,;$ ensuite on chassera $z$ au moyen de l’équation

$y+{\frac {x-p}{z}}=\varphi (p),$

en y substituant pour $p$ sa valeur $\mathrm {Z} .$ Cette dernière solution répond, comme on voit, à celle du n^o 9.

12. On peut encore intégrer la même équation par une autre méthode que voici.

Ayant égalé la quantité sous le signe $\varphi$ à une nouvelle variable $p,$ ce qui donne

$x-{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\frac {dy}{dx}}=p,$

ou bien, en faisant ${\frac {dy}{dx}}=z,$

$x-{\frac {\left(1+z^{2}\right)zdx}{dz}}=p,$

comme dans le n^o 11, j’intègre cette dernière équation en y regardant $p$ comme une constante. Pour cela il n’y a qu’à la multiplier par ${\frac {dz}{z^{2}{\sqrt {1+z^{2}}}}},$ et intégrant on aura

${\frac {(x-p){\sqrt {1+z^{2}}}}{z}}=r,$