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ainsi $q=f(p)$ sera aussi une constante. Or, chassant des expressions de $p$ et $q$ du n^o 1 la quantité ${\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}},$ on a

$(x-p)+(y-q){\frac {dy}{dx}}=0\,;$

donc, multipliant par $dx$ et intégrant, on aura

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

$r$ étant une nouvelle constante arbitraire.

C’est, comme on voit, la même équation d’où nous somines partis d’abord (1) ; en sorte que cette solution ne donne autre chose qu’un cercle quelconque ayant le centre placé sur la circonférence de la courbe donnée. Il est clair en effet que le cercle résout la question, considérée sous le point de vue où nous l’avons d’abord envisagée ; et il est visible aussi que l’on peut faire passer le cercle dont il s’agit par deux points arbitraires ; car en joignant ces deux points par une droite et élevant sur le point du milieu de cette droite une perpendiculaire, il suffira que le centre du cercle soit dans le point où cette perpendiculaire coupera la développée donnée. D’où l’on doit conclure que cette solution a toute la généralité que la question peut comporter (2).

9. Venons maintenant à l’autre équation

${\frac {dx}{dy}}+f'(p)=0\,;$

cette équation étant combinée avec l’équation

$(x-p)+(y-q){\frac {dy}{dx}}=0.$

laquelle résulte de l’élimination de la seconde différence $d^{2}y$ des expressions de $p$ et $q,$ donnera, à cause de $q=f(p),$ celle-ci

$(x-p)f'(p)=y-f(p)\,;$