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de manière que l’on aura

$x=p-{\frac {rdrdp}{dp^{2}+dq^{2}}},\quad y=q-{\frac {rdrdq}{dp^{2}+dq^{2}}}.$

Substituant maintenant ces valeurs dans la première équation, on aura

${\frac {r^{2}dr^{2}\left(dp^{2}+dq^{2}\right)}{\left(dp^{2}+dq^{2}\right)^{2}}}=r^{2},$

savoir

$dr^{2}=dp^{2}+dq^{2},$

et, tirant la racine carrée,

$dr=\pm {\sqrt {dp^{2}+dq^{2}}}.$

Cette dernière formule fait voir que le rayon osculateur $r$ varie par des différences égales à celles de l’arc de la développée dont l’élément est ${\sqrt {dp^{2}+dq^{2}}}.$ Désignant donc cet élément par $ds,$ on aura

$dr=\pm ds,$

et, intégrant,

$r=k\pm s,$

$k$ étant une constante arbitraire qui dépend du point où est supposé commencer le développement. Cela s’accorde avec la Théorie connue des développées, et l’on voit en même temps que le signe supérieur répond au cas où le fil qui par son extrémité décrit la développante se développe en effet de la courbe qu’on nomme la développée, et que le signe inférieur répond au cas contraire dans lequel le fil est supposé s’envelopper à la même courbe.

7. L’analyse précédente donne, comme on voit, les mêmes résultats qui se déduisent de la considération synthétique du développement des courbes ; mais ne pourrait-on pas y parvenir aussi par la première méthode, qui est d’ailleurs la plus directe et la plus naturelle ? Voici comment.

L’équation de la développée étant donnée entre ses coordonnées rec-