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développement, c’est-à-dire dont elle serait la développée, le Problème doit dépendre du Calcul intégral et exiger une double intégration. En effet, la méthode la plus naturelle de résoudre ce dernier Problème est de substituer dans l’équation de la développée entrp $p$ et $q$ les valeurs précédentes de ces quantités ; ce qui donnera, si l’équation entre $p$ et q est algébrique, une équation différentielle du second ordre entre $x$ et $y,$ et qui sera celle de la courbe cherchée ; en sorte qu’il faudra une double intégration pour avoir l’équation finie de cette courbe. Mais voici une difficulté à laquelle il ne me paraît pas que personne ait encore pensé.

3. Comme chaque intégration peut introduire une constante arbitraire, il s’ensuit que l’équation finie entre $x$ et $y$ doit renfermer deux constantes arbitraires ; cependant il est facile de voir par la Théorie des développées que la courbe engendrée par le développementd’une courbe donnée ne peut renfermer qu’une seule constante arbitraire, laquelle dépend du point où le développement commence. Car il est visible qu’on ne peut faire passer la développante (ou courbe formée par le développement de celle qu’on nomme la développée) que par un seul point arbitraire. En effet, un point étant donné par lequel la développante doive passer, on tirera par ce point une tangente à la développée, et, regardant cette tangente comme une partie de la courbe déjà développée, on continuera le développement suivant la loi connue ; moyennant quoi la développante sera entièrement déterminée.

Il s’ensuit de ce raisonnement que lorsque l’équation de la développée est algébrique, celle de la développante doit être différentielle du premier ordre seulement, au lieu que la méthode précédente la donne du second ordre. C’est aussi ce que l’on trouve directement en considérant le Problème sous un autre point de vue que voici.

4. Comme les quantités $p,q,r$ sont variables d’un point à l’autre de la développée, on peut aussi les considérer comme telles dans les équations du n^o 1. Or la seconde et la troisième de ces équations n’étant que les différentielles respectives de la première et de la seconde, en n’y re-