Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/584

de sorte que la constante $l$ demeurera arbitraire, à cause qu’elle contient l’arbitraire $c$.

On aura donc précisément le cas du n^o 12 en prenant $k={\frac {\delta }{2}}\,;$ de sorte qu’en supposant de plus $l=0,$ on aura

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {\mathrm {M} x'+\mathrm {N} x'^{2}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {\mathrm {M} y'+\mathrm {N} y'^{2}}}},$

savoir (13)

${\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\cfrac {r^{2}}{\varpi }}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {2x'-{\cfrac {x'^{2}}{\varpi }}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {2y'-{\cfrac {y'^{2}}{\varpi }}}}},$

où (11)

$x'=x+{\frac {\delta }{2}}={\frac {r+\delta +u}{2}},\quad y'=y+{\frac {\delta }{2}}={\frac {r+\delta -u}{2}}.$

Or il est visible que $r$ et $\delta$ sont deux rayons vecteurs, et que $u$ est alors la corde qui joint ces rayons ; donc, puisque $x'=y',$ lorsque $u=0,$ auquel cas $r=\delta ,$ il s’ensuit que la différence des intégrales de

${\frac {x'dx'}{\sqrt {2x'-{\cfrac {x'^{2}}{\varpi }}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {y'dy'}{\sqrt {2y'-{\cfrac {y'^{2}}{\varpi }}}}}$

exprimera justement le temps employé à parcourir l’angle compris entre les deux rayons vecteurs $\delta$ et $r,$ c’est-à-dire l’arc sous-tendu par la corde $u\,;$ ce qui est le Théorème de M. Lambert.