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on aura les mêmes formules que ci-dessus, mais avec cette différence que les variables $x'$ et $y'$ contiendront encore la constante arbitraire $k$.

13. Je vais faire voir maintenant que l’équation entre $u$ et $r$ du n^o 11 est celle d’une ellipse dans laquelle $r$ serait le rayon vecteur partant d’un des foyers, et où $u$ serait un autre rayon vecteur partant d’un autre point fixe quelconque placé dans le plan de l’ellipse ou non.

En nommant, comme plus haut, $p$ le paramètre, $e$ l’excentricité, $r$ le rayon vecteur, $\xi$ et $\eta$ les coordonnées rectangles, on a, comme on sait, cette équation à l’ellipse

$r+e\xi =p\,;$

d’où l’on tire, à cause de $r^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2},$

$\xi ={\frac {p-r}{e}},\quad \eta ={\frac {\sqrt {-p^{2}+2pr-\left(1-e^{2}\right)r^{2}}}{e}}.$

Soient maintenant $\alpha ,\beta ,\gamma$ les coordonnées rectangles qui déterminent la position du centre des rayons vecteurs $u,$ on aura évidemment

$u^{2}=(\xi -\alpha )^{2}+(\eta -\beta )^{2}+\gamma ^{2},\quad {\text{savoir}}\quad u^{2}=r^{2}-2\alpha \xi -2\beta \eta +\delta ^{2}\,;$

en faisant, pour abréger,

$\delta ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}},$

et substituant pour $\xi$ et $\eta$ leurs valeurs en $r,$

$u^{2}=r^{2}+{\frac {2\alpha }{e}}r-{\frac {2\alpha p}{e}}+\delta ^{2}-{\frac {2\beta }{e}}{\sqrt {-p^{2}+2pr-\left(1-e^{2}\right)r^{2}}}.$

Cette expression de $u^{2}$ en $r$ est, comme on voit, tout à fait semblable à celle du n^o 11, et, comparant les termes homologues, on aura

${\frac {2\alpha }{e}}=\mathrm {\frac {4B}{C}} ,\quad -{\frac {2\alpha p}{e}}+\delta ^{2}=\mathrm {\frac {4A}{C}} ,\quad {\frac {-\beta ^{2}p^{2}}{e^{2}}}=\mathrm {\frac {4H}{C^{2}}} ,\quad {\frac {\beta ^{2}p}{e^{2}}}=\mathrm {\frac {4M}{C^{2}}} ,$

${\frac {-\beta ^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}}=\mathrm {\frac {4N}{C^{2}}} \,;$

et ces cinq équations serviront à déterminer les cinq quantités $p,e,\alpha ,$$\beta ,\gamma ,$ dont les deux premières déterminent l’ellipse, et dont les trois dernières déterminent la position du centre des rayons $u$ par rapport au plan de l’ellipse et au foyer des rayons $r$.