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on aura

$\mathrm {X} =4\mathrm {C} ^{2}\left(a+bx+cx^{2}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{4}\right),$

et pareillement

$\mathrm {Y} =4\mathrm {C} ^{2}\left(a+by+cy^{2}+\mathrm {M} y^{3}+\mathrm {N} y^{4}\right)\,;$

donc, substituant dans la formule du numéro précédent, on aura

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}=$

${\frac {(x^{2}+h)dx}{\sqrt {a+bx+cx^{2}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{4}}}}-{\frac {(y^{2}+h)dy}{\sqrt {a+by+cy^{2}+\mathrm {M} y^{3}+\mathrm {N} y^{4}}}}\,;$

et, comme les quantités $a,b,c$ renferment les trois constantes arbitraires $\mathrm {A,B,C} ,$ on pourra regarder ces quantités elles-mêmes comme des constantes arbitraires ; et la constante $h$ sera pareillement arbitraire.

11. En regardant les quantités $a,b,c$ comme données, on aura par les formules ci-dessus

$\mathrm {\frac {A}{C}} =-{\frac {\mathrm {M} b+2\mathrm {H} (c+4\mathrm {H} )}{\mathrm {M^{2}+4HN} }},\quad \mathrm {\frac {B}{C}} =-{\frac {\mathrm {M} (c+4\mathrm {H} )-2\mathrm {N} b}{\mathrm {M^{2}+4HN} }},$

ensuite

$c={\frac {\mathrm {\sqrt {\left({\cfrac {M}{2}}\right)^{2}-HN}} }{\sqrt {a+\mathrm {M{\cfrac {A}{C}}{\cfrac {B}{C}}+N{\cfrac {A^{2}}{C^{2}}}+H{\cfrac {B^{2}}{C^{2}}}} }}}\,;$

ainsi l’on connaîtra les trois quantités $\mathrm {A,B,C}$ en $a,b,c,\ldots$ $\mathrm {M,N,H} .$

Ensuite, pour la détermination de $x$ et $y$ en $r,$ on aura d’abord

$s={\frac {{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}-\mathrm {A} -\mathrm {B} r}{\mathrm {C} }}\,;$

mais

$x+y=r,\quad xy=s\,;$

donc

$x={\frac {r+{\sqrt {r^{2}-4s}}}{2}},\quad y={\frac {r-{\sqrt {r^{2}-4s}}}{2}}.$

Si donc on fait

${\sqrt {r^{2}-4s}}=u,$