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or le premier membre de l’équation précédente se réduit à

$\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {B} r+\mathrm {C} rx+\mathrm {A} -\mathrm {C} x^{2}\right),$

savoir à

$\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s\right),$

Ainsi l’on a

$\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)={\sqrt {\mathrm {X} }},$

et, changeant $x$ en $y,$ on aura pareillement

$\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)={\sqrt {\mathrm {Y} }},$

où $\mathrm {Y}$ sera une fonction de $y$ semblable à la fonction $\mathrm {X}$ de $x,$ en sorte que l’on aura

$\mathrm {Y} =\left[\mathrm {M} -2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} -\mathrm {C} y^{2})\right]^{2}-4\left[\mathrm {N} -(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)^{2}\right]\left[\mathrm {H} -(\mathrm {A} -\mathrm {C} y^{2})^{2}\right],$

et l’on remarquera que l’on peut prendre dans les équations précédentes les radicaux en $+$ ou $-$ en à volonté.

Faisant donc ces substitutions dans l’équation ci-dessus, et prenant le radical ${\sqrt {\mathrm {X} }}$ en $-$ et le radical ${\sqrt {\mathrm {Y} }}$ en $+,$ on aura enfin

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {2\mathrm {C} (x^{2}+h)dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}-{\frac {2\mathrm {C} (y^{2}+h)dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},$

$h$ étant une quantité quelconque ; où l’on voit qu’en supposant $h$ constante, la différentielle proposée est réduite à la différence de deux autres différentielles analogues, mais beaucoup plus générales.

10. Si l’on développe la quantité $\mathrm {X} ,$ et qu’on fasse, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}a=&\mathrm {\frac {\left({\cfrac {M}{2}}\right)^{2}-HN-ABM-A^{2}N-HB^{2}}{C^{2}}} ,\\b=&-\mathrm {\frac {MA+2HB}{C}} ,\\c=&\mathrm {{\frac {MB-2NA}{C}}-4H} ,\end{aligned}}$