Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/568

et, tirant la racine carrée,

$\delta =2a\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}.$

Faisant donc ces substitutions dans les expressions ci-dessus de $\cos x$ et $\cos y,$ on aura

${\begin{aligned}\cos x=&{\frac {r+\rho -\delta }{2a}}-1,\\\cos y=&{\frac {r+\rho +\delta }{2a}}-1,\\\end{aligned}}$

et de là

${\begin{aligned}a(1+\cos x)=&{\frac {r+\rho -\delta }{2a}},\\a(1+\cos y)=&{\frac {r+\rho +\delta }{2a}}.\end{aligned}}$

Or $x$ et $y$ étant deux anomalies excentriques dans l’ellipse où $e=1,$ si l’on nomme $p$ et $q$ les rayons vecteurs correspondants, on aura

$p=a(1+\cos x),\quad q=a(1+\cos y),$

donc

$p={\frac {r+\rho -\delta }{2a}},\quad q={\frac {r+\rho +\delta }{2a}},$

et le temps employé à parcourir l’arc sous-tendu par la corde $\delta$ dans l’ellipse dont l’excentricité est $e$ sera égal à la différence des temps qui répondent aux rayons vecteurs $p$ et $q$ dans l’ellipse où $e=1\,;$ mais nous avons déjà vu que cette ellipse se confond avec l’axe, et que ses deux foyers tombent aux extrémités de l’axe $2a\,;$ donc le temps dont il s’agit sera égal au temps employé à parcourir dans cet axe la partie interceptée entre les abscisses $p$ et $q\,;$ ce qui est le Théorème de M. Lambert.

4. Quoique la démonstration précédente soit assez simple, il semble qu’on pourrait la simplifier encore, en employant immédiatement le rayon vecteur à la place de l’anomalie excentrique ; nous allons donc envisager la question de cette manière, et sans faire usage des propriétés connues de l’anomalie excentrique.