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mais

$\sin \varphi -\sin \alpha =2\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\,;$

donc, divisant de part et d’autre par $2sin{\frac {\varphi -\alpha }{2}},$ on aura

$\cos {\frac {x+y}{2}}=e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\,;$

d’où l’on tire

$\sin {\frac {x+y}{2}}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}\,;$

de là, et de ce que

$\sin {\frac {x-y}{2}}=\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}},\quad \cos {\frac {x-y}{2}}=\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}},$

on tirera sur-le-champ

${\begin{aligned}\sin x=&\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}+e\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}},\\\sin y=&\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}-e\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}},\\\cos x=&e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}-\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}},\\\cos y=&e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}+\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}{\frac {\varphi +\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}$

Ainsi l’on connaîtra par ces formules les arcs cherchés $x$ et $y$ en $\varphi$ et $\alpha .$

3. Je remarque maintenant que $r$ étant le rayon vecteur qui répond à l’anomalie excentrique $\varphi$ dans l’ellipse proposée, si l’on nomme pareillement $\rho$ le rayon vecteur qui répond à l’anomalie excentrique dans la même ellipse, on aura

$r=a(1+e\cos \varphi ),\quad \rho =a(1+e\cos \alpha ),$

d’où l’on tire

$e\cos {\frac {\varphi +\alpha }{2}}\cos {\frac {\varphi -\alpha }{2}}=e{\frac {\cos \varphi +\cos \alpha }{2}}={\frac {r+\rho }{2a}}-1.$