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Par le Théorème de M. Lambert, le temps par un arc quelconque de cette ellipse est réduit à la différence des temps par deux arcs d’une autre ellipse qui ait le même grand axe $2a,$ mais dont l’excentricité $e$ soit égale à $1,$ ce qui réduit l’ellipse au grand axe en y faisant évanouir l’axe conjugué dont la valeur est $a{\sqrt {1-e^{2}}},$ et par conséquent zéro lorsque $e=1.$

Soit $\alpha$ la valeur de $\varphi$ui répond au commencement de l’arc pour lequel on demande le temps, on aura

$a^{\frac {3}{2}}\left[\varphi -\alpha +e(\sin \varphi -\sin \alpha )\right]$

pour le temps par l’arc dont le commencement répond à l’anomalie excentrique $\alpha ,$ et dont la fin répond à l’anomalie excentrique $\varphi .$ Il faut donc réduire cette expression à la différence de deux expressions de la forme

$a^{\frac {3}{2}}(\varphi +\sin \varphi )\,;$

donc, si l’on dénote par $x$ et $y$ les deux anomalies, excentriques dans l’ellipse où $e=1,$ on aura

$a^{\frac {3}{2}}\left[\varphi -\alpha +e(\sin \varphi -\sin \alpha )\right]=a^{\frac {3}{2}}(x+\sin x)-a^{\frac {3}{2}}(y+\sin y).$

Donc, comparant ensemble les parties algébriques et les parties transcendantes, on aura ces deux équations

${\begin{aligned}&\varphi -x=x-y,\\&e(\sin \varphi -\sin \alpha )=\sin x-\sin y\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tirera $x$ et $y$ en, ce qui n’a point de difficulté.

En effet, si l’on met la deuxième sous cette forme

$e(\sin \varphi -\sin \alpha )=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}},$

qu’ensuite on y substitue pour ${\frac {x-y}{2}}$ sa valeur ${\frac {\varphi -\alpha }{2}}$ tirée de la première équation, on aura

$e(\sin \varphi -\sin \alpha )=2\sin {\frac {\varphi -\alpha }{2}}\cos {\frac {x+y}{2}}\,;$