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équation qui se réduira à la forme précédente en faisant $q'=0\,;$ donc si l’on détermine $a$ en sorte que $q',$ ou ce qui est la même chose ${\frac {d{\cfrac {dy}{dx}}}{da}},$ ou bien ${\frac {d^{2}y}{dxda}},$ soit nul, l’équation $\mathrm {Z} =0$ satisfera encore à l’équation $\mathrm {Z} '=0\,;$ et, comme $a$ devient dans ce cas égal à une quantité variable, l’équation $\mathrm {Z} =0$ ne sera plus qu’une intégrale particulière de la même équation.

34. Pour confirmer cette règle par un Exemple, reprenons l’équation différentio-différentielledu n^o 30, et nous trouverons aisément, d’après l’intégrale finie et complète qu’on connaît déjà, ces deux intégrales aux premières différences

${\begin{aligned}y=&\left(-{\frac {a}{2}}+a^{2}\right)x^{2}+(1-2a)x{\frac {dy}{dx}}+a^{2}+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\\y=&{\frac {\left(b+{\cfrac {dy}{dx}}\right)x}{2}}+{\frac {\left(b-{\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{x^{2}}}+b^{2},\end{aligned}}$

$a$ et $b$ étant les constantes arbitraires.

Faisant varier dans la première les quantités ${\frac {dy}{dx}}$ et $a,$ on en tire

${\frac {d^{2}y}{dxda}}={\frac {\left({\cfrac {1}{2}}-2a\right)x^{2}+2x{\cfrac {dy}{dx}}-2a}{(1-2a)x+2{\cfrac {dy}{dx}}}},$

et supposant cette quantité égale à zéro, on aura l’équation

$\left({\frac {1}{2}}-2a\right)x^{2}+2x{\frac {dy}{dx}}-2a=0,$

d’où résulte

$a={\frac {{\cfrac {x^{2}}{2}}+2x{\cfrac {dy}{dx}}}{2\left(1+x^{2}\right)}}\,;$

et cette valeur étant substituée dans l’équation ci-dessus, il viendra,