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tant que $x$ demeure le même, quelque variation que $x''$ subisse. Or

$x^{(2\nu )}=\mathrm {P} ^{(2\nu )}x'+\mathrm {Q} ^{(2\nu )}x\,;$

donc il faudra que $\mathrm {P} ^{(2\nu )}=0\,;$ c’est la condition fondamentale de toute lunette.

On aura donc simplement

$x^{(2\nu )}=\mathrm {Q} ^{(2\nu )}x\,;$

donc l’amplification sera représentée par $\mathrm {Q} ^{(2\nu )}.$

De plus on a

$x^{(2\nu -1)}=\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}x'+\mathrm {Q} ^{(2\nu -1)}x\,;$

donc, dans le cas de $x=0,$ on aura simplement

$x^{(2\nu -1)}=\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}x'\,;$

par conséquent la clarté apparente sera représentée par ${\frac {1}{\pm \mathrm {P} ^{(2\nu -1)}}}.$

Je remarque maintenant qu’on a, en général (15), l’équation

$\mathrm {P^{(2\nu )}Q^{(2\nu -1)}-Q^{(2\nu )}P^{(2\nu -1)}} =-1\,;$

donc, à cause de $\mathrm {P} ^{(2\nu )}=0,$ on aura

${\frac {1}{\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}}}=\mathrm {Q} ^{(2\nu )}.$

Donc la clarté apparente est proportionnelle à l’amplification ; d’où il résulte que, si tous les rayons qui entrent dans l’objectif sont transmis à l’œil, l’objet paraîtra à travers les verres aussi brillant qu’à l’œil nu, mais jamais plus brillant, de quelque largeur que soit l’objectif.

Enfin on jugera de la situation apparente de l’objet par le signe de la quantité $\pm \mathrm {Q} ^{(2\nu )},$ en y prenant le signe supérieur lorsque $\nu$ est impair, et l’inférieur lorsque $\nu$ est pair.

20. Le champ apparent est évidemment égal à l’angle $x,$ pourvu que l’œil soit placé dans le second foyer conjugué de la lunette lequel tombe