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valeurs de $\mathrm {P} ^{(2\nu )}$ et de $\mathrm {P} ^{(2\nu -1)}$ ne dépendent point de la quantité $h^{(\nu )},$ ainsi qu’on le voit par les formules du n^o 7 ; d’où il s’ensuit que l’équation précédente étant multipliée par $h^{(\nu )},$ et ensuite différentiée en regardant $h^{(\nu )}$ comme la seule variable, on aura

$\mathrm {P} ^{(2\nu )}dh^{(\nu )}=d\mathrm {P} ^{(2\nu +1)}.$

Donc

$\mathrm {P} ^{(2\nu )}={\frac {d\mathrm {P} ^{(2\nu +1)}.}{dh^{(\nu )}}}.$

18. Soit maintenant une lunette composée d’un nombre quelconque $\nu$ de lentilles ; un rayon, qui coupant l’axe sous l’angle $x$ entrera dans la première lentille à la distance $x'$ de l’axe, coupera successivement l’axe sous les angles $x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,x^{(2\nu )},$ et traversera les autres lentilles aux distances $-x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots ,\pm x^{(2\nu -1)}$ de l’axe ; le signe supérieur étant pour le cas où $\nu$ est impair, et l’inférieur pour celui où $\nu$ est pair.

L’angle $x$ est donc changé par l’effet des lentilles dans l’angle $x^{(2\nu )},$ et la distance ou ouverture $x'$ est changée en $\pm x^{(2\nu -1)}\,;$ du premier changement dépend l’amplification ou la force de la lunette, laquelle est par conséquent exprimée par ${\frac {x^{(2\nu )}}{x}}\,;$ et du second dépend la clarté apparente qui étant en raison inverse de la densité des rayons sera exprimée par ${\frac {x'}{\pm x^{(2\nu -1)}}},$ pourvu qu’on suppose $x=0$ dans l’expression de $x^{(2\nu -1)},$ pour que les rayons entrent parallèles à l’axe dans la lunette ; car alors il est visible que tous les rayons, qui tombent sur l’ouverture $x',$ doivent sortir par l’ouverture $x^{(2\nu -1)}\,;$ par conséquent leurs densités en entrant et en sortant de la lunette seront en raison réciproque de ces ouvertures.

De plus, le signe de la quantité ${\frac {x'}{\pm x^{(2\nu -1)}}}$ indiquera la situation apparente de l’objet ; si cette quantité est positive, l’objet paraîtra droit, et si elle est négative, l’objet paraîtra renversé.

19. Comme dans les lunettes il faut que les rayons qui entrent parallèles en sortent aussi parallèles, la valeur de $x^{(2\nu )}$ doit demeurer la même